Uma das peças automotivas produzidas pela Qualipeçauto deve ter comprimento com média de 23 milímetros e desvio padrão de no máximo 0,2 milímetros. A empresa tem conseguido manter o desvio padrão do comprimento das peças em 0,15 milímetros, mas algumas vezes problemas no processo de produção fazem com que as peças não sejam produzidas com o comprimento médio especificado. Para evitar reclamações, a área de qualidade da empresa, seleciona periodicamente uma amostra aleatória de n peças produzidas e verifica o comprimento dessas peças.
a) Qual deve ser o valor de n, para que o erro amostral da média não supere 0,05 milímetros, para mais ou para menos, em
das vezes que a área de qualidade verificar a produção?
b) Em um determinado dia, n peças foram sorteadas e seu comprimento foi obtido, sendo n o valor obtido no item anterior. Sabendo que a média amostral obtida foi de 23,1 milímetros, obtenha uma estimativa intervalar para a verdadeira média das peças produzidas pela Qualipeçauto naquele dia com
de confiança. Interprete o intervalo obtido.
c) Baseado na estimativa intervalar obtida no item anterior, você diria que há um problema no processo de produção? Justifique.
d) Você teve que fazer algum tipo de suposição para responder aos itens anteriores? Em caso afirmativo, qual(is)? Por quê? Justifique a sua resposta.
a) Qual deve ser o valor de n, para que o erro amostral da média não supere 0,05 milímetros, para mais ou para menos, em
b) Em um determinado dia, n peças foram sorteadas e seu comprimento foi obtido, sendo n o valor obtido no item anterior. Sabendo que a média amostral obtida foi de 23,1 milímetros, obtenha uma estimativa intervalar para a verdadeira média das peças produzidas pela Qualipeçauto naquele dia com
c) Baseado na estimativa intervalar obtida no item anterior, você diria que há um problema no processo de produção? Justifique.
d) Você teve que fazer algum tipo de suposição para responder aos itens anteriores? Em caso afirmativo, qual(is)? Por quê? Justifique a sua resposta.
Passo 1
O enunciado trata de determinar o tamanho de amostra para que a média amostral de comprimentos tenha erro máximo de
mm com
de confiança, calcular o intervalo de confiança para a média verdadeira num dia em que a média amostral foi
mm, e avaliar se há desvio do valor-alvo de
mm. Vamos usar teoria de intervalo de confiança para média com desvio-padrão populacional conhecido.
Passo 2
Para escolher
tal que o erro amostral (meia-amplitude do intervalo) seja no máximo
mm com confiança de
, usamos
Aqui
mm e
.
Passo 3
Substituindo os valores:
Arredondando para o inteiro superior, obtemos
.
Passo 4
Com
e média amostral
mm, o erro padrão é
O meia-amplitude do intervalo de
é
Logo, o intervalo de confiança para a média verdadeira é
Passo 5
Interpretando: com
de confiança a verdadeira média diária de comprimento está entre
mm e
mm.
Passo 6
Como
mm (valor-alvo) não pertence ao intervalo
, parece haver desvio sistemático no processo de produção, indicando problema na média de comprimento.
Passo 7
Pressupomos que a distribuição dos comprimentos seja normal ou, pelo menos, que
seja suficientemente grande para valer o Teorema Central do Limite. Esse é o critério que justifica usar o
e a fórmula de intervalo com
conhecido.
Resposta
a)
.
b) Intervalo de :
mm.
c) Sim: mm não está dentro do intervalo, sugerindo desvio da média-alvo.
d) Supondo normalidade dos comprimentos (ou CLT para ) para usar o
e
conhecido.
b) Intervalo de
c) Sim:
d) Supondo normalidade dos comprimentos (ou CLT para