Uma das peças automotivas produzidas pela Qualipeçauto deve ter comprimento com média de 23 milímetros e desvio padrão de no máximo 0,2 milímetros. A empresa tem conseguido manter o desvio padrão do comprimento das peças em 0,15 milímetros, mas algumas vezes problemas no processo de produção fazem com que as peças não sejam produzidas com o comprimento médio especificado. Para evitar reclamações, a área de qualidade da empresa, seleciona periodicamente uma amostra aleatória de n peças produzidas e verifica o comprimento dessas peças.
a) Qual deve ser o valor de n, para que o erro amostral da média não supere 0,05 milímetros, para mais ou para menos, em 98 % das vezes que a área de qualidade verificar a produção?
b) Em um determinado dia, n peças foram sorteadas e seu comprimento foi obtido, sendo n o valor obtido no item anterior. Sabendo que a média amostral obtida foi de 23,1 milímetros, obtenha uma estimativa intervalar para a verdadeira média das peças produzidas pela Qualipeçauto naquele dia com 98 % de confiança. Interprete o intervalo obtido.
c) Baseado na estimativa intervalar obtida no item anterior, você diria que há um problema no processo de produção? Justifique.
d) Você teve que fazer algum tipo de suposição para responder aos itens anteriores? Em caso afirmativo, qual(is)? Por quê? Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado trata de determinar o tamanho de amostra para que a média amostral de comprimentos tenha erro máximo de pm0,05 mm com 98% de confiança, calcular o intervalo de confiança para a média verdadeira num dia em que a média amostral foi 23,1 mm, e avaliar se há desvio do valor-alvo de 23 mm. Vamos usar teoria de intervalo de confiança para média com desvio-padrão populacional conhecido.

Passo 2

Para escolher n tal que o erro amostral (meia-amplitude do intervalo) seja no máximo E=0,05 mm com confiança de 1-alpha=0,98, usamos
E = z1-alpha/2,sigmaraizn Longrightarrow n = l(z1-alpha/2,sigmaEr)^2
Aqui sigma=0,15 mm e z1-alpha/2=z0,99approx2,3263.

Passo 3

Substituindo os valores:
n = l(2,3263cdot0,150,05r)^2 = l(2,3263cdot3r)^2 approx6,9789^2 approx48,7
Arredondando para o inteiro superior, obtemos n=49.

Passo 4

Com n=49 e média amostral bar x=23,1 mm, o erro padrão é
sigmaraizn =0,15raiz49 =0,15/7 approx0,02143
O meia-amplitude do intervalo de 98% é
E = 2,3263times0,02143 approx0,0499approx0,05
Logo, o intervalo de confiança para a média verdadeira é
l[,23,1 - 0,05; ;23,1 + 0,05r] = [,23,05; 23,15,] mm

Passo 5

Interpretando: com 98% de confiança a verdadeira média diária de comprimento está entre 23,05 mm e 23,15 mm.

Passo 6

Como 23 mm (valor-alvo) não pertence ao intervalo [23,05;23,15], parece haver desvio sistemático no processo de produção, indicando problema na média de comprimento.

Passo 7

Pressupomos que a distribuição dos comprimentos seja normal ou, pelo menos, que n=49 seja suficientemente grande para valer o Teorema Central do Limite. Esse é o critério que justifica usar o z e a fórmula de intervalo com sigma conhecido.

Resposta

a) n=49.
b) Intervalo de 98%: [23,05;23,15] mm.
c) Sim: 23 mm não está dentro do intervalo, sugerindo desvio da média-alvo.
d) Supondo normalidade dos comprimentos (ou CLT para n=49) para usar o z e sigma conhecido.

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