Seja X a quantidade de uma toxina produzida por um determinado fungo no milho após 10 dias de incubação em mu g / g e assuma que X tem distribuição normal. Definamos e =barX-mu como sendo o erro amostral da média. Suponha que a variância de X seja 400(mu g / g)^2.
a) Determine a média e a variância de e.
b) Que proporção das amostras de tamanho 25 terão erro amostral absoluto maior do que 2 reais?
c) E qual proporção das amostras de tamanho 100?
d) Nesse último caso, qual o valor de d, tal que P(|e|>d)=0,01 ?
e) Qual deve ser o tamanho da amostra para que 95 % dos erros amostrais absolutos sejam inferiores a 1 mu g / g ?

Passo 1

O enunciado diz que X é a quantidade de toxina e que Xsim N(mu,400). Definimos o erro amostral e=bar X-mu. Precisamos usar a distribuição da média amostral e as propriedades da normal para achar média e variância de e, depois calcular probabilidades do tipo Pr(| e|>c) para tamanhos n=25 e n=100, achar d tal que Pr(| e|>d)=0,01 em n=100 e, por fim, encontrar n para que Pr(| e|<1)=0,95.

Passo 2

Como é média de observações de com , temos
Logo
Isto dá e .

Passo 3

Para n=25, o desvio‐padrão do erro é
sigma e=raiztfrac40025=4
Queremos
Prl(| e|>2r) =2l[1-Phil(tfrac24r)r] =2l[1-Phi(0.5)r]

Passo 4

Para n=100, o desvio‐padrão do erro é
sigma e=raiztfrac400100=2
Então
Prl(| e|>2r) =2l[1-Phil(tfrac22r)r] =2l[1-Phi(1)r]

Passo 5

Ainda em n=100, achamos d tal que
Prl(| e|>dr) =2l[1-Phil(tfracd2r)r] =0.01
Isso implica
1-Phil(tfracd2r)=0.005 Longrightarrow Phil(tfracd2r)=0.995 Longrightarrow tfracd2=z0.995approx2.5758
e portanto
dapprox2times2.5758=5.1516

Passo 6

Queremos n tal que
Prl(| e|<1r)=0.95
Escrevendo sigma e=20/raizn, temos
Prl(| e|<1r) =2Phil(tfrac120/raiznr)-1=0.95 Longrightarrow Phil(tfracraizn20r)=0.975
logo
tfracraizn20=1.96 Longrightarrow raizn=39.2 Longrightarrow napprox1536.64
Como n precisa ser inteiro, escolhemos n=1537.

Resposta

a) \n
b) \n
c) \n
d) \n
e)

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