1. (Fonte desconhecida) Calcular a equação que representa a curva do sistema para o sistema abaixo. Dados:
  • Comprimento da canalização de recalque =100 \mathrm{~m}
  • Comprimento da canalização de sucção =10 \mathrm{~m}
  • Diâmetro da canalização de recalque =75 \mathrm{~mm}
  • Diâmetro da canalização de sucção =100 \mathrm{~mm}
  • Acessórios do recalque: 3 curvas 90 graus raio longo; 1 registro de gavetas; 1 válvula de retenção
  • Acessórios da sucção: 1 curva de 90 graus de raio longo e 1 válvula de pé com crivo.
  • Coeficiente de perda de carga de Hazen-Williams C igual a 130.
  • Usar o método dos comprimentos virtuais para cálculo das perdas de carga localizadas.

Passo 1

Vou listar com clareza tudo o que o enunciado me deu e o que está visível na imagem (peguei estes dados da imagem quando aplicável):
  • Vazão de projeto (observação na imagem): 0,15\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Comprimento da canalização de recalque: L_{r}=100\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da canalização de sucção: L_{s}=10\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro da canalização de recalque: D_{r}=75\\ \mathrm{mm}=0{,}075\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro da canalização de sucção: D_{s}=100\\ \mathrm{mm}=0{,}100\\ \mathrm{m}.
  • Acessórios do recalque: 3 curvas de 90^\circ (raio longo), 1 registro de gavetas, 1 válvula de retenção.
  • Acessórios da sucção: 1 curva de 90^\circ (raio longo), 1 válvula de pé com crivo.
  • Coeficiente de Hazen–Williams: C=130.
O que o enunciado pede (objetivo): encontrar a equação que representa a curva do sistema, ou seja a expressão do desnível total que a bomba precisa vencer em função da vazão Q:
H_{\text{sist}}(Q)=H_{\text{est}}+\text{(perdas por atrito e locais dependentes de }Q\text{)},
onde H_{\text{est}} é a cabeça estática (diferença de cota entre reservatório de sucção e ponto de descarga) — se o enunciado der um valor numérico para essa parte, substitui-se; aqui a equação será escrita com H_{\text{est}} simbólico e com a parte viscosa calculada numericamente a partir dos dados.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (aula rápida, passo a passo):
  • A curva do sistema é a soma da cabeça estática H_{\text{est}} e das perdas de carga por atrito (ao longo de tubos) mais perdas localizadas (acessórios). As perdas por atrito para água em tubulações correntes podem ser calculadas por várias fórmulas; aqui usaremos Hazen–Williams (pedida no enunciado).
  • Fórmula de Hazen–Williams em unidades SI (forma usual para tubos em m e vazão em m^3/s):
h_f = 10{,}67\;\frac{L\; Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\; D^{4{,}871}}
onde:
  • h_f é a perda de carga (m) ao longo de um trecho de comprimento L,
  • L é o comprimento do trecho (m),
  • Q é a vazão (m^3/s),
  • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional),
  • D é o diâmetro interno da tubulação (m).
  • Método dos comprimentos virtuais: cada acessório é convertido em um comprimento equivalente L_e (m) que, somado ao comprimento real, dá um comprimento efetivo para o cálculo do atrito com a fórmula de Hazen–Williams. Normalmente os L_e são fornecidos em tabelas como razão L_e/D (unidades adimensionais). Vou adotar valores típicos de tabelas de engenharia (informarei quais valores usei).

Passo 3

Escolha dos comprimentos equivalentes dos acessórios (assunção explícita de tabela padrão):
  • Para ser prático e porque o enunciado pede o método dos comprimentos virtuais, adoto valores típicos de tabela corrente (valores conservadores, comuns em exercícios):
    • Curva de 90^\circ raio longo: \dfrac{L_e}{D}=16.
    • Registro de gavetas (aberto): \dfrac{L_e}{D}=8.
    • Válvula de retenção (check valve, comum): \dfrac{L_e}{D}=40.
    • Válvula de pé com crivo (foot valve + strainer): \dfrac{L_e}{D}=50.
Obs.: esses números são valores típicos utilizados em tabelas pedagógicas; se tiver uma tabela específica do seu curso, substitua os L_e/D por essa tabela — o procedimento é o mesmo.

Passo 4

Calcular os comprimentos equivalentes (transformando \dfrac{L_e}{D} em L_e em metros) e os comprimentos totais efetivos.
  • Recalque ( D_{r}=0{,}075\\ \mathrm{m}, L_{r}=100\\ \mathrm{m}):
    • 3 curvas 90^\circ raio longo: 3\times 16 = 48 (soma de L_e/D).
    • 1 registro de gavetas: 8.
    • 1 válvula de retenção: 40.
    • Soma \dfrac{L_e}{D} total (recalque) =48+8+40=96.
    • Então L_{e,r} = 96 \times D_{r} = 96\times 0{,}075 = 7{,}20\\ \mathrm{m}.
    • Comprimento efetivo total no recalque: \displaystyle L_{r,\text{eff}} = L_{r} + L_{e,r} = 100 + 7{,}20 = 107{,}20\\ \mathrm{m}.
  • Sucção ( D_{s}=0{,}100\\ \mathrm{m}, L_{s}=10\\ \mathrm{m}):
    • 1 curva 90^\circ raio longo: 16.
    • 1 válvula de pé com crivo: 50.
    • Soma \dfrac{L_e}{D} total (sucção) =16+50=66.
    • Então L_{e,s} = 66 \times D_{s} = 66\times 0{,}100 = 6{,}60\\ \mathrm{m}.
    • Comprimento efetivo total na sucção: \displaystyle L_{s,\text{eff}} = L_{s} + L_{e,s} = 10 + 6{,}60 = 16{,}60\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Aplicar Hazen–Williams separadamente a sucção e recalque e obter as constantes multiplicativas.
  • Usaremos a fórmula:
h_f = 10{,}67\;\frac{L\; Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\; D^{4{,}871}}.
Calcular a perda no recalque:
  • Substituindo L=L_{r,\text{eff}}=107{,}20\\ \mathrm{m}, D=D_{r}=0{,}075\\ \mathrm{m}, C=130,
h_{r}(Q)=10{,}67\;\frac{107{,}20\; Q^{1{,}852}}{130^{1{,}852}\; (0{,}075)^{4{,}871}}.
Fazendo as contas numéricas (passo a passo aritmético):
  • Calcula-se numericamente o coeficiente (trabalhei as potências e produtos): o termo multiplicador dá, arredondando para 3 algarismos significativos,
h_{r}(Q)\approx 4{,}22\times 10^{4}\;Q^{1{,}852}\\ \mathrm{(m)}.
Calcular a perda na sucção:
  • Substituindo L=L_{s,\text{eff}}=16{,}60\\ \mathrm{m}, D=D_{s}=0{,}100\\ \mathrm{m}, C=130,
h_{s}(Q)=10{,}67\;\frac{16{,}60\; Q^{1{,}852}}{130^{1{,}852}\; (0{,}100)^{4{,}871}}.
  • Fazendo as contas numéricas:
h_{s}(Q)\approx 1{,}60\times 10^{3}\;Q^{1{,}852}\\ \mathrm{(m)}.
Observação: as duas parcelas acima são as perdas por atrito já incluindo o efeito dos acessórios via comprimento virtual.

Passo 6

Somar perdas e montar a curva do sistema:
  • Perda total por atrito (soma sucção + recalque):
h_{\text{attrito}}(Q)=h_{s}(Q)+h_{r}(Q)\approx \bigl(4{,}22\times10^{4}+1{,}60\times10^{3}\bigr)\,Q^{1{,}852}.
  • Somando os coeficientes:
h_{\text{attrito}}(Q)\approx 4{,}38\times10^{4}\;Q^{1{,}852}\\ \mathrm{(m)}.
  • Curva do sistema (forma final): cabeça estática + perdas dependentes de Q:
H_{\text{sist}}(Q)=H_{\text{est}} + 4{,}38\times10^{4}\;Q^{1{,}852},
onde H_{\text{est}} é a cabeça estática (diferença de cota entre reservatório de sucção e ponto de descarga), em metros. Se o enunciado fornecer numericamente essa cabeça estática (por exemplo, diferença de cota = H_{\text{est}}= valor), substitui-se e obtém-se a curva completamente numérica.

Passo 7

Exemplo de verificação numérica (útil na prova para checar ordens de grandeza):
  • Se quiser avaliar apenas as perdas por atrito na vazão indicada na imagem Q=0{,}15\\ \mathrm{m^{3}/s}, calcula-se:
h_{\text{attrito}}(0{,}15)\approx 4{,}38\times10^{4}\times (0{,}15)^{1{,}852}\approx 1{,}30\times 10^{3}\\ \mathrm{m}.
  • Comentário prático (não esqueça na prova): esse valor é absurdamente grande por uma razão física simples — a vazão indicada representa uma velocidade muito alta em tubos tão pequenos ( D_{r}=0{,}075\\ \mathrm{m}), gerando perdas enormes. Em situações reais seria necessário aumentar diâmetros ou rever a vazão. Aqui a conta só ilustra como usar a fórmula; sempre confira coerência física.

Resposta

H_{\text{sist}}(Q)=H_{\text{est}} + 4{,}38\times10^{4}\;Q^{1{,}852}

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