- No recalque há: 1 válvula de retenção, 1 registro de gaveta, 3 joelhos de
e 1 saída de canalização, cuja soma de comprimentos virtuais resulta em 15,2 m.
- (Adaptada de PORTO, 2006, p. 146) As características de uma bomba centrífuga, em uma certa rotação constante, são dadas na tabela abaixo. A bomba é usada para elevar água vencendo uma altura geométrica de 6,5
, por meio de uma tubulação de
de diâmetro,
de comprimento e fator de atrito
.
\begin{table}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{
- No recalque há: 1 válvula de retenção, 1 registro de gaveta, 3 joelhos de
e 1 saída de canalização, cuja soma de comprimentos virtuais resulta em 15,2 m.
a) Determine a vazão recalcada e a potência consumida pela bomba.
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{
a) Determine a vazão recalcada e a potência consumida pela bomba.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a vazão recalcada e a potência consumida pela bomba centrífuga.
Informações fornecidas pelo enunciado (peguei estes dados do texto e da figura enviada):
Informações fornecidas pelo enunciado (peguei estes dados do texto e da figura enviada):
- Diâmetro da tubulação:
. - Comprimento da tubulação (linha de recalque):
. - Fator de atrito (número de Darcy):
. - Soma dos comprimentos virtuais (perdas localizadas convertidas em comprimento equivalente):
. - Altura geométrica a vencer:
. - O enunciado afirma que as características da bomba (curva ou tabela
vs e, presumivelmente, a eficiência da bomba) são dadas em uma tabela, porém essa tabela NÃO foi incluída na mensagem recebida. Essa tabela é imprescindível para obter numericamente a vazão de funcionamento (ponto de funcionamento) e a eficiência correspondente.
Observação importante: sem a curva/tabela característica da bomba (ou uma expressão matemática para
) e sem a eficiência
no ponto de operação, não é possível calcular numericamente a vazão e a potência consumida. Abaixo eu explico passo a passo o método completo e mostro todas as contas que consigo fazer com os dados disponíveis; no final indico exatamente quais números adicionais são necessários para obter as respostas numéricas finais.
Passo 2
Calcular o comprimento total equivalente da tubulação, somando o comprimento real e os comprimentos virtuais (as perdas localizadas já convertidas em comprimento equivalente):
Esta é a distância efetiva que vamos usar na fórmula de perda por atrito (Darcy–Weisbach).
Passo 3
Área da seção transversal do tubo e velocidade média em função da vazão:
- Área:
Substituindo
:
- Velocidade média
em função da vazão :
(Recordando:
em
e
em
.)
Passo 4
Fórmula da perda de carga por atrito (Darcy–Weisbach) e substituição levando a uma expressão em função de
.
A perda de carga por atrito ao longo do comprimento total é:
onde:
-
é o fator de atrito de Darcy (dado ), -
é o comprimento total equivalente (calculado no Passo 2), -
é o diâmetro, -
é a velocidade média, -
é a aceleração da gravidade ( ).
Substituindo
e os valores numéricos:
Calculemos o coeficiente numérico passo a passo:
Portanto
Agora substituindo
:
Calculando o coeficiente:
Logo, uma forma prática é:
Passo 5
Expressão para a altura total exigida pelo sistema (cabeça da bomba necessária) como função da vazão
.
A altura total a ser vencida pela bomba é a soma da altura geométrica e das perdas por atrito:
Substituindo os valores:
Comentário didático rápido: isto significa que, quando
aumenta, as perdas por atrito crescem com
e, portanto, a cabeça que o sistema “pede” à bomba cresce com
. A bomba, por sua vez, tem uma curva característica
que geralmente decresce com
. O ponto de operação é o
em que as duas curvas se cruzam.
Passo 6
Como determinar a vazão de operação
(ponto de funcionamento) usando a curva/tabela da bomba.
- Obtenha a curva característica da bomba
(pode ser uma tabela de pontos ou uma expressão analítica). No enunciado original essa curva deveria vir na tabela que não foi fornecida aqui. - Encontre o ponto
que satisfaz a igualdade
- Se a curva da bomba estiver em tabela de pontos, proceda por interpolação (linear entre pontos adjacentes) para obter
contínua e resolva numericamente. - Se a curva da bomba for dada por uma fórmula (por ex. polinomial), substitua e resolva a equação (pode ser necessário método numérico se a equação não for trivial).
Exemplo de procedimento numérico (sem números reais porque a curva não foi dada):
- Escolher um palpite inicial
. - Calcular
. - Ler/interpolar
. - Se
, a bomba entrega mais cabeça que o sistema pede → aumentar ; se for menor → diminuir . - Iterar até que a diferença seja desprezível (por ex. tolerância relativa
).
Observação: se a tabela da bomba também fornecer a eficiência
, pegue o valor de
correspondente ao
encontrado. Se a eficiência não for dada, a potência consumida da bomba não pode ser determinada sem assumir uma eficiência.
Passo 7
Como calcular a potência (hidráulica e consumida) após determinar
.
- Potência hidráulica entregue ao fluido:
onde
é a massa específica da água (
) e
.
Substituindo a expressão de
:
Com
:
- Potência elétrica/consumida pelo motor (ou potência eixo fornecida à bomba), se a eficiência da bomba
for conhecida:
Se
estiver em porcentagem, usar
como fração (por ex.
para
).
Observação prática: muitas vezes a tabela/dados da bomba fornecem
versus
, então toma-se
. Sem
não se pode fornecer numericamente
, apenas
simbólica como acima.
Passo 8
Resumo do que falta e instruções claras do que devo receber para completar os cálculos numéricos.
Para obter os valores numéricos de vazão e potência consumida, por favor envie:
- A tabela/curva característica da bomba — ou a lista de pontos
— ou uma expressão analítica para . (É imprescindível.) - A eficiência
da bomba ou a curva . (Se não vier, posso estimar uma eficiência típica a pedido, mas isso introduz suposição.)
Assim que eu tiver essa tabela/curva (e a eficiência), eu:
- interpolarei a curva (se necessário),
- encontrarei numericamente o
que satisfaz , - calcularei
, - e finalmente calcularei
.
Força aí — já estamos quase lá; mande a tabela da bomba que eu resolvo os números e escrevo as contas passo a passo para você poder repetir na prova.
Resposta
Não é possível determinar numericamente a vazão recalcada
nem a potência consumida porque a curva/tabela característica da bomba
e a eficiência
NÃO foram fornecidas.