• No recalque há: 1 válvula de retenção, 1 registro de gaveta, 3 joelhos de 90^{\circ} e 1 saída de canalização, cuja soma de comprimentos virtuais resulta em 15,2 m.
  1. (Adaptada de PORTO, 2006, p. 146) As características de uma bomba centrífuga, em uma certa rotação constante, são dadas na tabela abaixo. A bomba é usada para elevar água vencendo uma altura geométrica de 6,5 \mathbf{m}, por meio de uma tubulação de \mathbf{1 0 0 ~ m m} de diâmetro, \mathbf{6 5 ~ m} de comprimento e fator de atrito =0,020.
\begin{table}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{
  • No recalque há: 1 válvula de retenção, 1 registro de gaveta, 3 joelhos de 90^{\circ} e 1 saída de canalização, cuja soma de comprimentos virtuais resulta em 15,2 m.
    a) Determine a vazão recalcada e a potência consumida pela bomba.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a vazão recalcada e a potência consumida pela bomba centrífuga.
Informações fornecidas pelo enunciado (peguei estes dados do texto e da figura enviada):
  • Diâmetro da tubulação: D=100\\ \text{mm}=0{,}100\\ \text{m}.
  • Comprimento da tubulação (linha de recalque): L=65\\ \text{m}.
  • Fator de atrito (número de Darcy): f=0{,}020.
  • Soma dos comprimentos virtuais (perdas localizadas convertidas em comprimento equivalente): L_{\rm virt}=15{,}2\\ \text{m}.
  • Altura geométrica a vencer: H_{\rm geom}=6{,}5\\ \text{m}.
  • O enunciado afirma que as características da bomba (curva ou tabela H_{\rm bomba} vs Q e, presumivelmente, a eficiência \eta da bomba) são dadas em uma tabela, porém essa tabela NÃO foi incluída na mensagem recebida. Essa tabela é imprescindível para obter numericamente a vazão de funcionamento (ponto de funcionamento) e a eficiência correspondente.
Observação importante: sem a curva/tabela característica da bomba (ou uma expressão matemática para H_{\rm bomba}(Q)) e sem a eficiência \eta no ponto de operação, não é possível calcular numericamente a vazão e a potência consumida. Abaixo eu explico passo a passo o método completo e mostro todas as contas que consigo fazer com os dados disponíveis; no final indico exatamente quais números adicionais são necessários para obter as respostas numéricas finais.

Passo 2

Calcular o comprimento total equivalente da tubulação, somando o comprimento real e os comprimentos virtuais (as perdas localizadas já convertidas em comprimento equivalente):
L_{\rm tot}=L+L_{\rm virt}=65{,}0+15{,}2=80{,}2\\ \text{m}.
Esta é a distância efetiva que vamos usar na fórmula de perda por atrito (Darcy–Weisbach).

Passo 3

Área da seção transversal do tubo e velocidade média em função da vazão:
  • Área:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D=0{,}100\\ \text{m}:
A=\frac{\pi(0{,}100)^{2}}{4}=\frac{\pi\cdot0{,}01}{4}=0{,}0025\pi\\ \text{m}^{2}\approx0{,}00785398\\ \text{m}^{2}.
  • Velocidade média V em função da vazão Q:
V=\frac{Q}{A}.
(Recordando: Q em \text{m}^3/\text{s} e V em \text{m}/\text{s}.)

Passo 4

Fórmula da perda de carga por atrito (Darcy–Weisbach) e substituição levando a uma expressão em função de Q.
A perda de carga por atrito ao longo do comprimento total é:
h_{f}=f\frac{L_{\rm tot}}{D}\cdot\frac{V^{2}}{2g},
onde:
  • f é o fator de atrito de Darcy (dado 0{,}020),
  • L_{\rm tot} é o comprimento total equivalente (calculado no Passo 2),
  • D é o diâmetro,
  • V é a velocidade média,
  • g é a aceleração da gravidade ( g\approx9{,}81\\ \text{m/s}^2).
Substituindo V=Q/A e os valores numéricos:
h_{f}=f\frac{L_{\rm tot}}{D}\cdot\frac{1}{2g}\left(\frac{Q}{A}\right)^{2}.
Calculemos o coeficiente numérico passo a passo:
\frac{L_{\rm tot}}{D}=\frac{80{,}2}{0{,}100}=802,
f\frac{L_{\rm tot}}{D}=0{,}020\times802=16{,}04,
\frac{16{,}04}{2g}=\frac{16{,}04}{2\times9{,}81}=\frac{16{,}04}{19{,}62}\approx0{,}8179.
Portanto
h_{f}\approx0{,}8179\left(\frac{Q}{A}\right)^{2}.
Agora substituindo A\approx0{,}00785398\\ \text{m}^{2}:
h_{f}\approx0{,}8179\left(\frac{Q}{0{,}00785398}\right)^{2} = \left(\frac{0{,}8179}{(0{,}00785398)^{2}}\right) Q^{2}.
Calculando o coeficiente:
(0{,}00785398)^{2}\approx6{,}1685\times10^{-5},
\frac{0{,}8179}{6{,}1685\times10^{-5}}\approx1{,}3258\times10^{4}.
Logo, uma forma prática é:
h_{f}\approx13258{,}3\;Q^{2}\quad(\text{com }Q\text{ em m}^{3}/\text{s},\\ h_{f}\text{ em m}).

Passo 5

Expressão para a altura total exigida pelo sistema (cabeça da bomba necessária) como função da vazão Q.
A altura total a ser vencida pela bomba é a soma da altura geométrica e das perdas por atrito:
H_{\rm sistema}(Q)=H_{\rm geom}+h_{f}(Q).
Substituindo os valores:
H_{\rm sistema}(Q)=6{,}5+13258{,}3\;Q^{2}\quad(\text{m}).
Comentário didático rápido: isto significa que, quando Q aumenta, as perdas por atrito crescem com Q^{2} e, portanto, a cabeça que o sistema “pede” à bomba cresce com Q^{2}. A bomba, por sua vez, tem uma curva característica H_{\rm bomba}(Q) que geralmente decresce com Q. O ponto de operação é o Q em que as duas curvas se cruzam.

Passo 6

Como determinar a vazão de operação Q (ponto de funcionamento) usando a curva/tabela da bomba.
  1. Obtenha a curva característica da bomba H_{\rm bomba}(Q) (pode ser uma tabela de pontos (Q_i,H_i) ou uma expressão analítica). No enunciado original essa curva deveria vir na tabela que não foi fornecida aqui.
  2. Encontre o ponto Q que satisfaz a igualdade
H_{\rm bomba}(Q)=H_{\rm sistema}(Q)=6{,}5+13258{,}3\;Q^{2}.
  • Se a curva da bomba estiver em tabela de pontos, proceda por interpolação (linear entre pontos adjacentes) para obter H_{\rm bomba}(Q) contínua e resolva numericamente.
  • Se a curva da bomba for dada por uma fórmula (por ex. polinomial), substitua e resolva a equação (pode ser necessário método numérico se a equação não for trivial).
Exemplo de procedimento numérico (sem números reais porque a curva não foi dada):
  • Escolher um palpite inicial Q_0.
  • Calcular H_{\rm sistema}(Q_0).
  • Ler/interpolar H_{\rm bomba}(Q_0).
  • Se H_{\rm bomba}(Q_0)>H_{\rm sistema}(Q_0), a bomba entrega mais cabeça que o sistema pede → aumentar Q; se for menor → diminuir Q.
  • Iterar até que a diferença seja desprezível (por ex. tolerância relativa <1\%).
Observação: se a tabela da bomba também fornecer a eficiência \eta(Q), pegue o valor de \eta correspondente ao Q encontrado. Se a eficiência não for dada, a potência consumida da bomba não pode ser determinada sem assumir uma eficiência.

Passo 7

Como calcular a potência (hidráulica e consumida) após determinar Q.
  • Potência hidráulica entregue ao fluido:
P_{h}=\rho g Q H_{\rm sistema}(Q),
onde \rho é a massa específica da água ( \rho\approx1000\\ \text{kg/m}^{3}) e g\approx9{,}81\\ \text{m/s}^{2}.
Substituindo a expressão de H_{\rm sistema}(Q):
P_{h}(Q)=\rho g Q\left(6{,}5+13258{,}3\;Q^{2}\right).
Com \rho g\approx1000\times9{,}81=9810:
P_{h}(Q)=9810\;Q\left(6{,}5+13258{,}3\;Q^{2}\right)\quad(\text{W}).
  • Potência elétrica/consumida pelo motor (ou potência eixo fornecida à bomba), se a eficiência da bomba \eta for conhecida:
P_{\rm consumida}=\frac{P_{h}}{\eta}.
Se \eta estiver em porcentagem, usar \eta como fração (por ex. 0{,}70 para 70\%).
Observação prática: muitas vezes a tabela/dados da bomba fornecem \eta versus Q, então toma-se \eta(Q_{\rm op}). Sem \eta não se pode fornecer numericamente P_{\rm consumida}, apenas P_{h} simbólica como acima.

Passo 8

Resumo do que falta e instruções claras do que devo receber para completar os cálculos numéricos.
Para obter os valores numéricos de vazão e potência consumida, por favor envie:
  1. A tabela/curva característica da bomba — ou a lista de pontos (Q_i,H_i) — ou uma expressão analítica para H_{\rm bomba}(Q). (É imprescindível.)
  2. A eficiência \eta da bomba ou a curva \eta(Q). (Se não vier, posso estimar uma eficiência típica a pedido, mas isso introduz suposição.)
Assim que eu tiver essa tabela/curva (e a eficiência), eu:
  • interpolarei a curva (se necessário),
  • encontrarei numericamente o Q que satisfaz H_{\rm bomba}(Q)=6{,}5+13258{,}3\,Q^{2},
  • calcularei P_{h}=9810\,Q\,H_{\rm sistema}(Q),
  • e finalmente calcularei P_{\rm consumida}=P_{h}/\eta.
Força aí — já estamos quase lá; mande a tabela da bomba que eu resolvo os números e escrevo as contas passo a passo para você poder repetir na prova.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a vazão recalcada Q nem a potência consumida porque a curva/tabela característica da bomba H_{\rm bomba}(Q) e a eficiência \eta NÃO foram fornecidas.

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