Um pedaço de madeira flutua submerso em um liquido (massa específica 1,01.10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) com 0,642 do seu volume submerso. No óleo, 0,918 do seu volume fica submerso. Determine a massa específica da (a) madeira e do (b) óleo.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a massa específica da madeira e a massa específica do óleo, sabendo que um pedaço de madeira flutua com frações do seu volume submersas diferentes em dois líquidos. Dados do enunciado (vou listar tudo que vem no enunciado):
\text{massa específica do primeiro líquido (água)}:\\ \rho_{\text{água}} = 1,01\cdot10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}ííáá
\text{fração do volume submerso na água}:\\ f_{\text{água}} = 0,642çãáá
\text{fração do volume submerso no óleo}:\\ f_{\text{óleo}} = 0,918çãóó
Perguntas:
  • (a) Determinar a massa específica da madeira.
  • (b) Determinar a massa específica do óleo.

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (explicação bem didática): quando um corpo flutua em equilíbrio num líquido, a força de empuxo (que é o peso do líquido deslocado) é igual ao peso do corpo. Isso é o Princípio de Arquimedes. Em fórmulas:
  • Seja V o volume total do corpo (a madeira) e V_{\text{sub}} o volume submerso.
  • A massa da madeira é m_{\text{madeira}} = \rho_{\text{madeira}} V.
  • O empuxo é o peso do líquido deslocado: E = \rho_{\text{líquido}} V_{\text{sub}} gí.
  • O peso da madeira é P = m_{\text{madeira}} g = \rho_{\text{madeira}} V g.
Em equilíbrio vertical:
E = P \quad\Rightarrow\quad \rho_{\text{líquido}} V_{\text{sub}} g = \rho_{\text{madeira}} V g.í
Cancelando g e escrevendo V_{\text{sub}} = fV (onde f é a fração submersa), obtemos a relação simples:
\rho_{\text{madeira}} = \rho_{\text{líquido}} f.í
Essa fórmula é muito prática: a densidade do corpo é igual à densidade do líquido multiplicada pela fração do volume submerso.

Passo 3

Aplicando a fórmula para a situação da água (usando os dados do enunciado listados no Passo 1). Substituímos \rho_{\text{líquido}}=\rho_{\text{água}}íá e f=f_{\text{água}}á:
\rho_{\text{madeira}} = \rho_{\text{água}}\; f_{\text{água}}.áá
Agora fazemos a multiplicação passo a passo:
\rho_{\text{madeira}} = \left(1,01\cdot10^{3}\right)\cdot 0,642.
Multiplicando 1,01 por 0,642: 1,01\times0,642 = 1\times0,642 + 0,01\times0,642 = 0,642 + 0,00642 = 0,64842.
Portanto
\rho_{\text{madeira}} = 0,64842\cdot10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}} = 648{,}42\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 4

Interpretação do resultado e arredondamento: os dados do enunciado têm tipicamente três algarismos significativos (por exemplo 1,01\cdot10^{3} e 0,642), então é razoável reportar o resultado com três algarismos significativos. Assim:
\rho_{\text{madeira}} \approx 648\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 5

Agora usamos a mesma ideia para encontrar a massa específica do óleo. A relação entre madeira e óleo, quando a madeira flutua no óleo, é
\rho_{\text{madeira}} = \rho_{\text{óleo}}\; f_{\text{óleo}}.óó
Desse modo isolamos \rho_{\text{óleo}}ó:
\rho_{\text{óleo}} = \frac{\rho_{\text{madeira}}}{f_{\text{óleo}}}.óó

Passo 6

Substituímos o valor não arredondado de \rho_{\text{madeira}} obtido no Passo 3 (para evitar erro de arredondamento prematuro) e f_{\text{óleo}}=0,918ó:
\rho_{\text{óleo}} = \frac{648{,}42}{0,918}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.ó
Faço a divisão passo a passo (dividindo por aproximação controlada): 0,918\times706 = 648{,}108 e 0,918\times707 = 649{,}026. Nosso numerador 648{,}42 está entre esses dois produtos, mais próximo de 706. O resto ao usar 706 é 648{,}42-648{,}108=0{,}312. Convertendo esse resto em parte decimal:
\frac{0{,}312}{0,918}\approx0{,}340.
Somando à parte inteira 706 obtemos aproximadamente 706{,}340. Assim
\rho_{\text{óleo}} \approx 706{,}34\\ \mathrm{kg/m^{3}}.ó

Passo 7

Arredondando o resultado do óleo com três algarismos significativos (consistência com os dados):
\rho_{\text{óleo}} \approx 706\\ \mathrm{kg/m^{3}}.ó

Passo 8

Verificação rápida de consistência (opcional mas útil na prova): se usássemos o valor arredondado \rho_{\text{madeira}}=648 diretamente, teríamos \rho_{\text{óleo}} \approx 648/0,918 \approx 706ó, consistentemente com o cálculo mais preciso. Isso confirma que os resultados fazem sentido.

Resposta

(a) \rho_{\text{madeira}} \approx 648\\ \mathrm{kg/m^{3}}
(b) \rho_{\text{óleo}} \approx 706\\ \mathrm{kg/m^{3}}ó

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