Um pedaço de madeira flutua submerso em um liquido (massa específica 1,01.10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) com 0,642 do seu volume submerso. No óleo, 0,918 do seu volume fica submerso. Determine a massa específica da madeira

Passo 1

O enunciado informa duas situações de flutuação do mesmo pedaço de madeira e pede a massa específica da madeira. Dados fornecidos:
\rho_{1}=1{,}01\times 10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}
é a massa específica do primeiro líquido (aquele indicado entre parênteses) e, nesse líquido, a fração do volume submerso é
f_{1}=0{,}642.
No óleo, a fração do volume submerso é
f_{2}=0{,}918.
O que se pede: determinar a massa específica da madeira \rho_{\text{madeira}}.

Passo 2

Conceito físico essencial (explicado devagar): quando um corpo flutua, o peso do corpo é equilibrado pela força de empuxo. O peso do corpo é a massa do corpo vezes a aceleração da gravidade; a massa do corpo é a sua massa específica vezes o volume total. O empuxo é igual ao peso do fluido deslocado, ou seja, à massa do fluido deslocado vezes g. Escrevendo isso em fórmulas:
peso do bloco:
P=\rho_{\text{madeira}} \, V \, g,
empuxo:
E=\rho_{\text{fluido}} \, V_{\text{sub}} \, g,
onde:
  • \rho_{\text{madeira}} é a massa específica da madeira (o que queremos),
  • V é o volume total da madeira,
  • g é a aceleração da gravidade (nota: ela aparece dos dois lados e vai cancelar),
  • \rho_{\text{fluido}} é a massa específica do fluido em que a madeira está,
  • V_{\text{sub}} é o volume do bloco que fica submerso.
Para um corpo em equilíbrio flutuando temos P=E.

Passo 3

Igualando peso e empuxo e cancelando g, obtemos
\rho_{\text{madeira}}\,V=\rho_{\text{fluido}}\,V_{\text{sub}}.
Dividindo por V e definindo a fração submersa f=V_{\text{sub}}/V, vem a relação simples e muito útil:
\rho_{\text{madeira}}=\rho_{\text{fluido}}\;f.
Aqui f é justamente a fração do volume submerso (por exemplo, f_{1}=0{,}642 no primeiro líquido).

Passo 4

Aplicando a fórmula ao primeiro líquido (os dados que o enunciado deu para \rho_{1} e f_{1}):
\rho_{\text{madeira}}=\rho_{1}\,f_{1}=1{,}01\times10^{3}\times 0{,}642.
Vamos multiplicar passo a passo para não depender de calculadora:
1{,}01\times10^{3}=1010.
Então
1010\times 0{,}642 = 1010\times\frac{642}{1000}=\frac{1010\times 642}{1000}.
Calcule 1010\times 642:
1010\times 642 = 1010\times(600+42)=1010\times600+1010\times42=606000+42420=648420.
Dividindo por 1000:
\frac{648420}{1000}=648{,}42.
Portanto a massa específica da madeira é
\rho_{\text{madeira}}=648{,}42\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 5

Checagem (opcional, para ganhar confiança): usando a fração submersa no óleo f_{2}=0{,}918 e a relação \rho_{\text{madeira}}=\rho_{\text{óleo}}\,f_{2}ó, podemos calcular a massa específica do óleo a partir da \rho_{\text{madeira}} encontrada:
\rho_{\text{óleo}}=\frac{\rho_{\text{madeira}}}{f_{2}}=\frac{648{,}42}{0{,}918}\approx 706{,}34\\ \mathrm{kg/m^{3}}.ó
Isso é um valor razoável para um óleo leve, então a conta está consistente.

Resposta

648{,}42\\ \mathrm{kg/m^{3}}

Exercícios relacionados