Um pedaço de madeira flutua submerso em um liquido (massa específica 1,01.10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) com 0,642 do seu volume submerso. No óleo, 0,918 do seu volume fica submerso. Determine a massa específica do óleo

Passo 1

O enunciado dá um pedaço de madeira que flutua em dois líquidos e fornece a fração do volume submerso em cada um. As perguntas e os dados importantes são:
  • Determinar a massa específica do óleo.
  • Dados fornecidos: \rho_{1}=1,01\cdot10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}(massa específica do primeiro líquido), \text{fração submersa no primeiro líquido } f_{1}=0,642,çãí
\text{fração submersa no óleo } f_{2}=0,918.çãó
Nada mais é pedido além de encontrar \rho_{\text{óleo}}ó.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática):
  • Quando um corpo flutua em equilíbrio, o peso do corpo é equilibrado pela força de empuxo (Arquimedes).
  • Formalmente: peso = empuxo.
  • Peso do corpo: \;P=\rho_{s}Vg, onde
    \rho_{s} = massa específica da madeira (o que não conhecemos),
    V = volume total da madeira,
    g = aceleração da gravidade (cancela depois).
  • Empuxo: \;E=\rho_{\text{líq}}V_{\text{sub}}gí, onde
    \rho_{\text{líq}}í = massa específica do líquido em que o corpo flutua,
    V_{\text{sub}} = volume do corpo submerso.
  • Igualando: \rho_{s}Vg=\rho_{\text{líq}}V_{\text{sub}}gí. Cancelando Vg: \rho_{s}=\rho_{\text{líq}}\frac{V_{\text{sub}}}{V}.í
  • A razão \frac{V_{\text{sub}}}{V} é exatamente a fração submersa f. Logo: \rho_{s}=\rho_{\text{líq}}\,f.í
  • Interpretação prática: a densidade da madeira é a densidade do líquido multiplicada pela fração do volume submerso nesse líquido.

Passo 3

Usar os dados do primeiro líquido para calcular a massa específica da madeira \rho_{s}.
  • Aplicando a fórmula \rho_{s}=\rho_{1}f_{1}: \rho_{s}= \left(1,01\cdot10^{3}\right)\times 0,642.
  • Calcule passo a passo: 1,01\times0,642=0,64842,então \rho_{s}=0,64842\cdot10^{3}=648,42\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 4

Relacionar \rho_{s} com a situação no óleo e isolar \rho_{\text{óleo}}ó.
  • Na situação do óleo vale \rho_{s}=\rho_{\text{óleo}}\,f_{2}ó.
  • Isolando \rho_{\text{óleo}}ó: \rho_{\text{óleo}}=\frac{\rho_{s}}{f_{2}}.ó
  • Substituindo \rho_{s}=648,42\\ \mathrm{kg/m^{3}} e f_{2}=0,918: \rho_{\text{óleo}}=\frac{648,42}{0,918}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.ó

Passo 5

Fazer a divisão e arredondamento (conta detalhada):
  • Dividindo: \frac{648,42}{0,918}\approx 706,34\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Sobre algarismos significativos: os dados iniciais têm cerca de 3 algarismos significativos, então podemos apresentar o resultado com 3 algarismos significativos: \rho_{\text{óleo}}\approx 706\\ \mathrm{kg/m^{3}}.ó
  • Verificação rápida de plausibilidade: \rho_{\text{óleo}}<\rho_{1}ó (706 < 1010), faz sentido, pois no óleo a fração submersa é maior (0,918) — madeira afunda mais no óleo menos denso.

Resposta

\rho_{\text{óleo}}\approx 706\\ \mathrm{kg/m^{3}}ó

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