(18.39) Estime a condutividade elétrica a 75^{\circ} \mathrm{C} para o silício que foi dopado com 10^{22} \mathrm{~m}^{-3} átomos de fósforo. Utilize as mobilidades a partir dos gráficos do livro Callister 9^{\underline{a}} ed. Os valores serão aproximados.
\mathrm{R}: 128(\Omega \cdot \mathrm{~m})^{-1}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: silício dopado com fósforo com concentração de dopantes N_D = 10^{22}\\ \mathrm{m}^{-3}.
  • Dado: temperatura 75^\circ\mathrm{C} (ou seja T=348\\ \mathrm{K}).
  • Pedido: estimar a condutividade elétrica do silício nessa condição.
Informações relevantes que usarei (peguei do gráfico de mobilidade do livro Callister, 9ª ed.):
  • mobilidade dos elétrons em função da concentração de dopantes (valor aproximado que peguei no gráfico para N_D=10^{22}\\ \mathrm{m}^{-3}).
A resolução começa a partir do próximo passo.

Passo 2

Fórmula básica da condutividade e significado das variáveis.
A condutividade elétrica de um semicondutor é dada por
\sigma = q\left(n\,\mu_n + p\,\mu_p\right),
onde:
  • \sigma é a condutividade (em \mathrm{(\Omega\cdot m)}^{-1});
  • q é a carga elementar do elétron, q=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C};
  • n é a densidade de elétrons livres (em \mathrm{m}^{-3});
  • p é a densidade de lacunas (holes) (em \mathrm{m}^{-3});
  • \mu_n é a mobilidade dos elétrons (em \mathrm{m^2/(V\cdot s)});
  • \mu_p é a mobilidade das lacunas (em \mathrm{m^2/(V\cdot s)}).
Explicando em palavras: a condutividade é a soma das contribuições dos portadores (elétrons e lacunas), cada uma proporcional à sua carga, concentração e mobilidade.

Passo 3

Argumento para simplificar: material n‑tipo com dopagem doadora.
  • Como o silício foi dopado com fósforo, trata‑se de um semicondutor tipo n, em que os elétrons são portadores majoritários.
  • Em dopagens típicas e a 75^\circ\mathrm{C} espera‑se que os doadores esteja praticamente totalmente ionizados, logo podemos aproximar n \approx N_D.
  • A contribuição das lacunas (minoritárias) pode ser estimada por p = n_i^2 / n, onde n_i é a concentração intrínseca. Mesmo permitindo que n_i aumente com a temperatura, para N_D=10^{22}\\ \mathrm{m}^{-3} a quantidade p fica muito menor que n (ordens de grandeza menores), portanto a contribuição das lacunas é desprezível. Assim:
\sigma \approx q\,n\,\mu_n \approx q\,N_D\,\mu_n.

Passo 4

Escolha do valor de \mu_n (peguei do gráfico do Callister, 9ª ed.).
  • Do gráfico de mobilidades (mobilidade eletrônica \mu_n versus concentração de dopantes) no Callister 9ª ed., para N_D = 10^{22}\\ \mathrm{m}^{-3} (isto é 10^{16}\\ \mathrm{cm}^{-3}) a mobilidade eletrônica aproximada que retirei do gráfico é
\mu_n \approx 800\\ \mathrm{cm^2/(V\cdot s)}.
  • Converter essa mobilidade para unidades SI:
800\\ \mathrm{cm^2/(V\cdot s)} = 800\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2/(V\cdot s)} = 0,08\\ \mathrm{m^2/(V\cdot s)}.
Observação didática: o gráfico do Callister dá valores aproximados de mobilidade em função da dopagem; a mobilidade real varia com temperatura e com a qualidade do cristal, por isso o resultado será uma estimativa.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo usando \sigma \approx q\,N_D\,\mu_n.
  • Constantes e valores:
    • q = 1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C};
    • N_D = 10^{22}\\ \mathrm{m}^{-3};
    • \mu_n = 0,08\\ \mathrm{m^2/(V\cdot s)}.
  • Primeiro calcule q\cdot N_D:
q\,N_D = \left(1,602\times10^{-19}\right)\left(10^{22}\right) = 1,602\times10^{3}.
  • Agora multiplique por \mu_n:
\sigma \approx \left(1,602\times10^{3}\right)\left(0,08\right) = 128,16.
  • Portanto a condutividade estimada é aproximadamente 128{,}16\\ \mathrm{(\Omega\cdot m)}^{-1}. Arredondando de forma coerente para duas ou três cifras significativas dá 128\\ \mathrm{(\Omega\cdot m)}^{-1}.

Passo 6

Resumo das hipóteses e comentários finais (para você aplicar na prova).
  • Hipóteses feitas: doadores totalmente ionizados ( n\approx N_D); contribuição das lacunas desprezível; usei \mu_n retirada do gráfico do Callister para N_D=10^{22}\\ \mathrm{m}^{-3} sem correção fina de temperatura (valor é aproximado).
  • Se, na prova, tiver o gráfico de mobilidade, proceda exatamente como eu fiz: leia \mu_n no gráfico no ponto correspondente à concentração (lembre de converter \mathrm{cm^2/Vs} para \mathrm{m^2/Vs}) e aplique \sigma = q N_D \mu_n.
  • Não se preocupe: o raciocínio principal é sempre esse — identificar o portador majoritário, pegar a mobilidade adequada e aplicar a fórmula. Dá para fazer rápido na prova.

Resposta

128\\ \mathrm{(\Omega\cdot m)}^{-1}

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