(18.39) Estime a condutividade elétrica a
para o silício que foi dopado com
átomos de fósforo. Utilize as mobilidades a partir dos gráficos do livro Callister
ed. Os valores serão aproximados.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: silício dopado com fósforo com concentração de dopantes
. - Dado: temperatura
(ou seja ). - Pedido: estimar a condutividade elétrica do silício nessa condição.
Informações relevantes que usarei (peguei do gráfico de mobilidade do livro Callister, 9ª ed.):
- mobilidade dos elétrons em função da concentração de dopantes (valor aproximado que peguei no gráfico para
).
A resolução começa a partir do próximo passo.
Passo 2
Fórmula básica da condutividade e significado das variáveis.
A condutividade elétrica de um semicondutor é dada por
onde:
-
é a condutividade (em ); -
é a carga elementar do elétron, ; -
é a densidade de elétrons livres (em ); -
é a densidade de lacunas (holes) (em ); -
é a mobilidade dos elétrons (em ); -
é a mobilidade das lacunas (em ).
Explicando em palavras: a condutividade é a soma das contribuições dos portadores (elétrons e lacunas), cada uma proporcional à sua carga, concentração e mobilidade.
Passo 3
Argumento para simplificar: material n‑tipo com dopagem doadora.
- Como o silício foi dopado com fósforo, trata‑se de um semicondutor tipo n, em que os elétrons são portadores majoritários.
- Em dopagens típicas e a
espera‑se que os doadores esteja praticamente totalmente ionizados, logo podemos aproximar . - A contribuição das lacunas (minoritárias) pode ser estimada por
, onde é a concentração intrínseca. Mesmo permitindo que aumente com a temperatura, para a quantidade fica muito menor que (ordens de grandeza menores), portanto a contribuição das lacunas é desprezível. Assim:
Passo 4
Escolha do valor de
(peguei do gráfico do Callister, 9ª ed.).
- Do gráfico de mobilidades (mobilidade eletrônica
versus concentração de dopantes) no Callister 9ª ed., para (isto é ) a mobilidade eletrônica aproximada que retirei do gráfico é
- Converter essa mobilidade para unidades SI:
Observação didática: o gráfico do Callister dá valores aproximados de mobilidade em função da dopagem; a mobilidade real varia com temperatura e com a qualidade do cristal, por isso o resultado será uma estimativa.
Passo 5
Cálculo numérico passo a passo usando
.
-
Constantes e valores:
-
; -
; -
.
-
-
Primeiro calcule
:
- Agora multiplique por
:
- Portanto a condutividade estimada é aproximadamente
. Arredondando de forma coerente para duas ou três cifras significativas dá .
Passo 6
Resumo das hipóteses e comentários finais (para você aplicar na prova).
- Hipóteses feitas: doadores totalmente ionizados (
); contribuição das lacunas desprezível; usei retirada do gráfico do Callister para sem correção fina de temperatura (valor é aproximado). - Se, na prova, tiver o gráfico de mobilidade, proceda exatamente como eu fiz: leia
no gráfico no ponto correspondente à concentração (lembre de converter para ) e aplique . - Não se preocupe: o raciocínio principal é sempre esse — identificar o portador majoritário, pegar a mobilidade adequada e aplicar a fórmula. Dá para fazer rápido na prova.