Pede-se desenhar e determinar os elementos dos triângulos de velocidades para os diâmetros de entrada e saída de um ventilador radial, do qual são conhecidos: a. Rotação do rotor: 750 rpm ; b. Vazão: 240 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}; c. Diâmetro na entrada do rotor: 600 mm ; d. Diâmetro na saida do rotor: 855 mm ; e. Ângulo construtivo da pá na saída do rotor: 90^{\circ} e ângulo \mathrm{a}_{1}=90^{\circ} f. Por motivos de facilidade de construção, as alturas das pás na entrada e saída do rotor são iguais e valem 210 mm ; e g. A espessura das pás é desprezível.

Passo 1

O enunciado pede que a gente desenhe e determine os elementos dos triângulos de velocidades nos pontos de entrada e de saída do rotor de um ventilador radial. Informações fornecidas (vou listar tudo explicitamente):
  • Rotação do rotor: n=750\\ \text{rpm}.
  • Vazão volumétrica: Q=240\\ \mathrm{m^{3}/min}.
  • Diâmetro na entrada do rotor: D_{1}=600\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro na saída do rotor: D_{2}=855\\ \mathrm{mm}.
  • Ângulo construtivo da pá na saída do rotor: 90^\circ.
  • Ângulo \mathrm{a}_{1}=90^\circ (está indicando o ângulo de chegada do escoamento absoluto na entrada).
  • Altura (largura do canal) nas seções entrada/saída: b_{1}=b_{2}=210\\ \mathrm{mm}.
  • Espessura das pás desprezível (logo, área livre igual à área geométrica).
Coisas que precisamos determinar para cada seção (elementos típicos do triângulo de velocidades):
  • raio r, velocidade periférica U;
  • velocidade absoluta V e suas componentes radial V_{r} e tangencial V_{u};
  • velocidade relativa W e seu ângulo em relação à tangente da roda (ângulo \beta);
  • ângulo absoluto \alpha (entre V e a tangente).
    A resolução numérica começa no próximo passo.

Passo 2

Converter unidades e calcular quantidades básicas:
  • Converter vazão para \mathrm{m^{3}/s}:
Q=\frac{240}{60}=4\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Raios (metre):
r_{1}=\frac{D_{1}}{2}=\frac{600\\ \mathrm{mm}}{2}=300\\ \mathrm{mm}=0,300\\ \mathrm{m},
r_{2}=\frac{D_{2}}{2}=\frac{855\\ \mathrm{mm}}{2}=427{,}5\\ \mathrm{mm}=0,4275\\ \mathrm{m}.
  • Altura (largura do canal) em metros:
b=210\\ \mathrm{mm}=0,210\\ \mathrm{m}.
  • velocidade angular \omega e velocidade periférica U:
\omega=\frac{2\pi n}{60}=\frac{2\pi\cdot 750}{60}=25\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 78{,}540\\ \mathrm{rad/s}.
Velocidades periféricas nas duas seções:
U_{1}=\omega r_{1}=(25\pi)\cdot 0{,}300=7{,}5\pi\\ \mathrm{m/s}\approx 23{,}562\\ \mathrm{m/s},
U_{2}=\omega r_{2}=(25\pi)\cdot 0{,}4275=10{,}6875\pi\\ \mathrm{m/s}\approx 33{,}572\\ \mathrm{m/s}.
Explicação rápida: \omega é a velocidade angular (rad/s); U=r\omega é a velocidade linear da pá na circunferência de raio r. Essas fórmulas são essenciais para montar os triângulos de velocidades.

Passo 3

Calcular a componente radial da velocidade absoluta em cada raio usando a conservação da massa (continuidade) para um escoamento estacionário e uniforme na periferia:
  • Área de escoamento radial numa circunferência de raio r é A=2\pi r\,b (comprimento da circunferência vezes a largura).
  • Como Q=A\cdot V_{r}, temos:
V_{r}=\frac{Q}{2\pi r b}.
Aplicando em cada seção:
V_{r1}=\frac{4}{2\pi\cdot 0{,}300\cdot 0{,}210}=\frac{4}{0{,}395840\ldots}\approx 10{,}104\\ \mathrm{m/s}.
V_{r2}=\frac{4}{2\pi\cdot 0{,}4275\cdot 0{,}210}=\frac{4}{0{,}564322\ldots}\approx 7{,}091\\ \mathrm{m/s}.
Breve aula: a equação Q=2\pi r b V_{r} vem de multiplicar a velocidade radial média pela área disponível no anel correspondente; é a forma usual de relacionar vazão e velocidade radial em rotores radiais.

Passo 4

Triângulo de velocidades na entrada (seção 1). Entendendo os ângulos dados:
  • O enunciado diz \mathrm{a}_{1}=90^\circ. Interpreto \alpha_{1}=90^\circ como o ângulo entre a velocidade absoluta V_{1} e a tangente à circunferência, isto é, o escoamento absoluto entra radialmente (sem componente tangencial). Assim:
V_{u1}=0\quad(\text{componente tangencial absoluta}).
  • Componentes conhecidas:
V_{r1}\approx 10{,}104\\ \mathrm{m/s},\qquad V_{u1}=0.
  • Módulo da velocidade absoluta:
V_{1}=\sqrt{V_{r1}^{2}+V_{u1}^{2}}=V_{r1}\approx 10{,}104\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade relativa W_{1} é a velocidade do fluido vista pela pá; em componentes tangencial e radial:
W_{u1}=V_{u1}-U_{1}=-U_{1}\approx -23{,}562\\ \mathrm{m/s},
W_{r1}=V_{r1}\approx 10{,}104\\ \mathrm{m/s}.
  • Módulo de W_{1}:
W_{1}=\sqrt{W_{r1}^{2}+W_{u1}^{2}}=\sqrt{V_{r1}^{2}+U_{1}^{2}}\approx 25{,}637\\ \mathrm{m/s}.
  • Ângulo relativo da velocidade W_{1} em relação à tangente (ângulo \beta_{1}): a tangente desse ângulo é a razão entre a componente radial e a componente tangencial (com sinal apropriado). Como usamos magnitudes:
\tan\beta_{1}=\frac{V_{r1}}{U_{1}}\approx\frac{10{,}104}{23{,}562}=0{,}4290,
\beta_{1}\approx \arctan(0{,}4290)\approx 23{,}25^\circ.
Explicação didática curta: o triângulo na entrada tem a hipotenusa W_{1}, o cateto vertical V_{r1} (radial) e o cateto horizontal |W_{u1}|=U_{1} (tangencial relativa), porque o escoamento absoluto não tem componente tangencial.

Passo 5

Triângulo de velocidades na saída (seção 2). Interpretação do ângulo construtivo:
  • O enunciado dá “ângulo construtivo da pá na saída do rotor: 90^\circ”. Isso significa que a pá na saída é radial (a pá está alinhada radialmente, isto é, sua direção é perpendicular à tangente). Portanto o escoamento relativo segue a pá na saída, logo:
\beta_{2}=90^\circ\quad\Rightarrow\quad W_{2}\\ \text{direção radial} \Rightarrow W_{u2}=0.çã
  • Assim, a componente tangencial absoluta em saída é simplesmente:
V_{u2}=U_{2}+W_{u2}=U_{2}.
  • Já a componente radial absoluta é a que calculamos por continuidade:
V_{r2}\approx 7{,}091\\ \mathrm{m/s}.
  • Módulo da velocidade absoluta na saída:
V_{2}=\sqrt{V_{r2}^{2}+V_{u2}^{2}}=\sqrt{V_{r2}^{2}+U_{2}^{2}}\approx \sqrt{7{,}091^{2}+33{,}572^{2}}\approx 34{,}333\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade relativa W_{2}: como W_{u2}=0,
W_{2}=|W_{r2}|=V_{r2}\approx 7{,}091\\ \mathrm{m/s}.
  • Ângulo absoluto \alpha_{2} (entre V_{2} e a tangente):
\tan\alpha_{2}=\frac{V_{r2}}{V_{u2}}=\frac{V_{r2}}{U_{2}}\approx\frac{7{,}091}{33{,}572}=0{,}2112,
\alpha_{2}\approx \arctan(0{,}2112)\approx 11{,}95^\circ.
Didática: quando a pá é radial, o fluido sai com uma componente tangencial igual à velocidade periférica U; isso é a causa do “aumento” da componente tangencial do escoamento — é isso que gera momento do rotor sobre o fluido (e que, via Euler, relaciona-se à potência).

Passo 6

Resumo geométrico dos triângulos (como desenhar na prova):
  • Triângulo de entrada (seção 1): desenhe o eixo tangencial horizontal para a direita; a velocidade absoluta V_{1} aponta para baixo (radial), sem componente tangencial; o vetor U_{1} aponta para a direita; o vetor relativo W_{1} é a diferença V_{1}-U_{1} e forma um triângulo retângulo com catetos V_{r1} (vertical) e U_{1} (horizontal). O ângulo \beta_{1} é o ângulo entre W_{1} e a tangente (medido para dentro do rotor).
  • Triângulo de saída (seção 2): desenhe U_{2} para a direita; W_{2} vertical (radial) para fora; V_{2} é a soma vetorial U_{2}+W_{2}, formando um triângulo retângulo com catetos U_{2} (horizontal) e V_{r2} (vertical). O ângulo \beta_{2}=90^\circ (pá radial), e \alpha_{2} é o pequeno ângulo que V_{2} faz com a tangente (cerca de 12^\circ).

Passo 7

Verificações rápidas (sanidade numérica):
  • As magnitudes fazem sentido: U_{2}>U_{1} porque r_{2}>r_{1}. V_{r1}>V_{r2} porque a área na entrada (circunferência menor) é menor, logo velocidade radial maior para manter Q. W_{1} é relativamente grande porque o fluido “bate” contra pás que se movem mais rápido do que o fluido absoluto na entrada. Tudo consistente.

Resposta

Seção de entrada (raio r_{1}=0{,}300\\ \mathrm{m}):
U_{1}\approx 23{,}562\\ \mathrm{m/s}
V_{r1}\approx 10{,}104\\ \mathrm{m/s}
V_{u1}=0\\ \mathrm{m/s}
V_{1}\approx 10{,}104\\ \mathrm{m/s}
W_{1}\approx 25{,}637\\ \mathrm{m/s}
\alpha_{1}=90^\circ
\beta_{1}\approx 23{,}25^\circ
Seção de saída (raio r_{2}=0{,}4275\\ \mathrm{m}):
U_{2}\approx 33{,}572\\ \mathrm{m/s}
V_{r2}\approx 7{,}091\\ \mathrm{m/s}
V_{u2}=U_{2}\approx 33{,}572\\ \mathrm{m/s}
V_{2}\approx 34{,}333\\ \mathrm{m/s}
W_{2}\approx 7{,}091\\ \mathrm{m/s}
\beta_{2}=90^\circ
\alpha_{2}\approx 11{,}95^\circ

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