Um chafariz lança água através de quatro esguichos, que possuem diâmetros internos de 10 mm . Determine a pressão no tubo e a vazão volumétrica necessária através do tubo de fornecimento de modo que o fluxo de água sempre atinja uma altura de \mathrm{h}=4 \mathrm{~m}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a pressão no tubo de alimentação e a vazão volumétrica necessária para que o jato de água atinja sempre a altura \mathrm{h}=4\\ \mathrm{m}.
Dados fornecidos (vou listar numericamente, com unidades):
  • Número de esguichos: 4.
  • Diâmetro interno de cada esguicho: \;d_{\text{es}}=10\\ \mathrm{mm}=0,010\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro do tubo de alimentação: \;D_{\text{tubo}}=50\\ \mathrm{mm}=0,050\\ \mathrm{m}.
  • Altura desejada do jato: \;h=4\\ \mathrm{m}.
  • A densidade da água que usaremos: \;\rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • A aceleração da gravidade que usaremos: \;g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Observação importante aceita como hipótese prática (se o enunciado não informa perdas): vou considerar escoamento estacionário e incompressível, sem perdas por atrito ou singularidades significativas entre o interior do tubo e a saída do esguicho, e pressão na saída do esguicho igual à pressão atmosférica. Essas hipóteses são comuns em problemas acadêmicos desse tipo; se houvesse perdas, precisaríamos dos coeficientes de perda para incluí-las.

Passo 2

Como relacionar a altura máxima do jato com a velocidade na saída do esguicho (aula rápida e concreta).
  • Um jato vertical sobe até a altura máxima quando toda energia cinética inicial se transforma em energia potencial (desprezando resistência do ar). Pela conservação de energia (ou fórmula da queda/lançamento vertical), a velocidade inicial necessária para atingir a altura \;h satisfaz:
v_{\text{saída}}^{2}=2gh.í
  • Explicando as grandezas: \;v_{\text{saída}}í é a velocidade do jato ao sair do esguicho, g é a aceleração da gravidade e h é a altura máxima atingida. Essa fórmula vem da energia cinética \tfrac{1}{2}\rho v^{2} se convertendo em energia potencial \rho g h por unidade de volume.
  • Agora calculamos:
v_{\text{saída}}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 4}=\sqrt{78{,}48}\approx 8{,}86\\ \mathrm{m/s}.í

Passo 3

Vazão volumétrica usando continuidade (aula prática).
  • Área de um esguicho:
a_{\text{es}}=\frac{\pi d_{\text{es}}^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}010)^2}{4}=\pi\cdot 2{,}5\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2}\approx 7{,}85398\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.
  • Como há 4 esguichos, a área total de saída é
A_{\text{saída}}=4a_{\text{es}}=4\cdot 7{,}85398\times 10^{-5}=\pi\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{m^2}\approx 3{,}14159\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.í
  • A vazão volumétrica total exigida é a soma das vazões dos esguichos (continuidade):
Q=A_{\text{saída}}\,v_{\text{saída}}=(3{,}14159\times 10^{-4})\cdot 8{,}86\\ \mathrm{m^3/s}\approx 0{,}00278\\ \mathrm{m^3/s}.íí
  • Em unidades mais familiares: Q\approx 2{,}78\\ \mathrm{L/s}.
  • Velocidade média no tubo de alimentação:
A_{\text{tubo}}=\frac{\pi D_{\text{tubo}}^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}050)^2}{4}=\pi\cdot 6{,}25\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2}\approx 1{,}9635\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.
v_{\text{tubo}}=\frac{Q}{A_{\text{tubo}}}\approx\frac{0{,}00278}{0{,}0019635}\approx 1{,}42\\ \mathrm{m/s}.
(Explicação: continuidade diz que a vazão é a mesma em qualquer seção do circuito em regime estacionário; como a área do tubo é maior que a soma das áreas dos esguichos, a velocidade no tubo é menor.)

Passo 4

Determinar a pressão necessária no tubo usando Bernoulli (aula prática e conceitos).
  • O princípio: entre dois pontos do escoamento (no interior do tubo antes da ramificação e imediatamente na saída do esguicho) a equação de Bernoulli (por unidade de peso) é
\frac{P}{\rho g}+\frac{v^{2}}{2g}+z=\text{constante},
onde P é a pressão, v a velocidade local e z a cota. Subtraindo termos entre o ponto interior do tubo (subscrito “ \;tubo”) e o ponto de saída do esguicho (subscrito “ \;\text{saída}í”), e assumindo mesma cota entre as seções consideradas (ou seja, z_{\text{tubo}}=z_{\text{saída}}í; se não fosse, incluiríamos \;g(z_{\text{saída}}-z_{\text{tubo}})í), temos (desprezando perdas):
P_{\text{tubo}}+ \tfrac{1}{2}\rho v_{\text{tubo}}^{2}=P_{\text{atm}}+ \tfrac{1}{2}\rho v_{\text{saída}}^{2}.í
  • Reorganizando para achar a pressão no tubo (pressão gauge, isto é P_{\text{tubo}}-P_{\text{atm}}):
P_{\text{tubo}}-P_{\text{atm}}=\tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_{\text{saída}}^{2}-v_{\text{tubo}}^{2}\bigr).í
  • Interpretando: a pressão no tubo fornece a energia necessária para acelerar o fluido da velocidade do tubo até a velocidade de saída; se a velocidade no tubo fosse desprezível, a expressão se tornaria a conhecida \tfrac{1}{2}\rho v_{\text{saída}}^{2}í.
  • Agora substituímos os valores numéricos:
v_{\text{saída}}^{2}=78{,}48\\ \mathrm{m^2/s^2},\qquad v_{\text{tubo}}^{2}\approx (1{,}42)^2\approx 2{,}01\\ \mathrm{m^2/s^2}.í
P_{\text{tubo}}-P_{\text{atm}}=\tfrac{1}{2}\cdot 1000\cdot (78{,}48-2{,}01)\\ \mathrm{Pa}\approx 1000\cdot 38{,}235\\ \mathrm{Pa}\approx 38{,}2\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
  • Em unidades práticas: P_{\text{tubo}} (pressão gauge) \approx 38{,}2\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Checagem rápida e apresentação final:
  • Velocidade na saída compatível com a altura pedida pela relação v^2=2gh.
  • Vazão total obtida por Q=A_{\text{saída}}v_{\text{saída}}íí.
  • Pressão do tubo obtida por Bernoulli considerando que a saída está à pressão atmosférica e desconsiderando perdas.

Resposta

Pressão no tubo (sobre a atmosférica): \;38{,}2\\ \mathrm{kPa}.
Vazão volumétrica necessária: \;0{,}00278\\ \mathrm{m^3/s}\approx 2{,}78\\ \mathrm{L/s}.

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