Um chafariz lança água através de quatro esguichos, que possuem diâmetros internos de 10 mm . Determine a pressão no tubo e a vazão volumétrica necessária através do tubo de fornecimento de modo que o fluxo de água sempre atinja uma altura de
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar a pressão no tubo de alimentação e a vazão volumétrica necessária para que o jato de água atinja sempre a altura
.
Dados fornecidos (vou listar numericamente, com unidades):
- Número de esguichos:
. - Diâmetro interno de cada esguicho:
- Diâmetro do tubo de alimentação:
- Altura desejada do jato:
- A densidade da água que usaremos:
- A aceleração da gravidade que usaremos:
Observação importante aceita como hipótese prática (se o enunciado não informa perdas): vou considerar escoamento estacionário e incompressível, sem perdas por atrito ou singularidades significativas entre o interior do tubo e a saída do esguicho, e pressão na saída do esguicho igual à pressão atmosférica. Essas hipóteses são comuns em problemas acadêmicos desse tipo; se houvesse perdas, precisaríamos dos coeficientes de perda para incluí-las.
Passo 2
Como relacionar a altura máxima do jato com a velocidade na saída do esguicho (aula rápida e concreta).
- Um jato vertical sobe até a altura máxima quando toda energia cinética inicial se transforma em energia potencial (desprezando resistência do ar). Pela conservação de energia (ou fórmula da queda/lançamento vertical), a velocidade inicial necessária para atingir a altura
satisfaz:
- Explicando as grandezas:
é a velocidade do jato ao sair do esguicho, é a aceleração da gravidade e é a altura máxima atingida. Essa fórmula vem da energia cinética se convertendo em energia potencial por unidade de volume. - Agora calculamos:
Passo 3
Vazão volumétrica usando continuidade (aula prática).
- Área de um esguicho:
- Como há
esguichos, a área total de saída é
- A vazão volumétrica total exigida é a soma das vazões dos esguichos (continuidade):
- Em unidades mais familiares:
- Velocidade média no tubo de alimentação:
(Explicação: continuidade diz que a vazão é a mesma em qualquer seção do circuito em regime estacionário; como a área do tubo é maior que a soma das áreas dos esguichos, a velocidade no tubo é menor.)
Passo 4
Determinar a pressão necessária no tubo usando Bernoulli (aula prática e conceitos).
- O princípio: entre dois pontos do escoamento (no interior do tubo antes da ramificação e imediatamente na saída do esguicho) a equação de Bernoulli (por unidade de peso) é
onde
é a pressão,
a velocidade local e
a cota. Subtraindo termos entre o ponto interior do tubo (subscrito “
”) e o ponto de saída do esguicho (subscrito “
”), e assumindo mesma cota entre as seções consideradas (ou seja,
; se não fosse, incluiríamos
), temos (desprezando perdas):
- Reorganizando para achar a pressão no tubo (pressão gauge, isto é
):
- Interpretando: a pressão no tubo fornece a energia necessária para acelerar o fluido da velocidade do tubo até a velocidade de saída; se a velocidade no tubo fosse desprezível, a expressão se tornaria a conhecida
. - Agora substituímos os valores numéricos:
- Em unidades práticas:
(pressão gauge)
Passo 5
Checagem rápida e apresentação final:
- Velocidade na saída compatível com a altura pedida pela relação
. - Vazão total obtida por
. - Pressão do tubo obtida por Bernoulli considerando que a saída está à pressão atmosférica e desconsiderando perdas.
Resposta
Pressão no tubo (sobre a atmosférica):
Vazão volumétrica necessária:
Vazão volumétrica necessária: