Uma pedra é atirada para cima e sua altura h, em metros, é dada pela função h(t)=a t^2+12 t, em que t é medido em segundos. Se a pedra atingiu a altura máxima no instante t=2, pode-se afirmar que o valor de a é:
a) -3
b) -2
c) 2
d) 3
e) -4

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que uma pedra é jogada pra cima e a altura dela em função do tempo é
h(t)=a,t^2+12,t
com em segundos. Eles contam que o ponto máximo (o pico) acontece em . A matéria aqui é função quadrática (aquela parábola) e o que precisamos é descobrir o valor de que faz o vértice (máximo) ficar em . Para isso, vamos usar ideia de derivada (ou fórmula do vértice) pra achar quando a inclinação zera.

Passo 2

Teoria básica:
  1. Uma função quadrática h'(t)=ddtl(a,t^2+12tr)=2a,t+12 tem vértice (máximo ou mínimo) no ponto onde a derivada é zero.
  2. Derivada de em relação a é
    3) Se a parábola abre para baixo ( ), esse vértice é máximo. A gente acha o instante do máximo fazendo .

Passo 3

Vamos fazer 2a,t+12=0 e mandar 2acdot2+12=0 Longrightarrow 4a+12=0:
  1. Escrevendo a equação da derivada:
    2) Substituindo :

Passo 4

Agora basta resolver 4a = -12 Longrightarrow a = -124 = -3:

Faz sentido: ficou negativo, então a parábola abre pra baixo e tem realmente um pico (máximo).

Resposta

O valor de é .

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