1. A Pedra Azeda tem um projeto com os seguintes fluxos de caixa:
Ano Fluxo de caixa
0 (-
) 12.000$
1 (
) 8.500$
2 (
) 6.200$
A empresa a valia todos os projetos aplicando a regra da TIR. Se a taxa de juros apropriada for 9 \%, a empresa deve aceitar o projeto?

Passo 1

O enunciado dá os fluxos de caixa do projeto e pergunta se a empresa deve aceitá‑lo quando a taxa de juros apropriada é 9\%. Informações fornecidas:
Fluxos de caixa: \;CF_0 = -\$12.000,\; CF_1 = \$8.500,\; CF_2 = \$6.200.
Regra usada pela empresa: aplicar a regra da TIR (internamente a empresa decide com base na TIR).
Pergunta a responder: considerando a taxa de juros \;9\%, a empresa deve aceitar o projeto?

Passo 2

O que é a TIR e como a usamos para decidir (mini‑aula):
Definição prática: a Taxa Interna de Retorno (TIR) é a taxa \;r\; que zera o Valor Presente Líquido (VPL ou NPV) do projeto. Ou seja, é a solução de
NPV(r)= -12000 + \frac{8500}{(1+r)} + \frac{6200}{(1+r)^2} = 0.
Interpretação: se a empresa usa a regra da TIR, ela aceita o projeto quando \;TIR>r_{req}\; (onde \;r_{req} é a taxa apropriada ou custo de capital). Aqui \;r_{req}=9\%.
Agora vamos encontrar a TIR resolvendo a equação acima.

Passo 3

Transformar a equação em um polinômio para facilitar a solução: multiplicamos ambos os lados por (1+r)^2 para eliminar denominadores:
-12000(1+r)^2 + 8500(1+r) + 6200 = 0.
Desenvolvendo (1+r)^2 = 1 + 2r + r^2 e multiplicando:
-12000(1 + 2r + r^2) + 8500(1+r) + 6200 = 0.
Agora distribuímos os termos:
-12000 -24000r -12000r^2 + 8500 + 8500r + 6200 = 0.
Somamos termos semelhantes (constantes, termos em r, termos em r^2):
(-12000 + 8500 + 6200) + (-24000r + 8500r) + (-12000r^2) = 0.
Calcule cada soma:
-12000 + 8500 + 6200 = 3500,
-24000r + 8500r = -15500r.
Logo a equação fica
-12000r^2 -15500r + 3500 = 0.
Multiplicando por -1 (para deixar coeficiente de r^2 positivo):
12000r^2 + 15500r -3500 = 0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para a equação
12000r^2 + 15500r -3500 = 0,
os coeficientes são \;a=12000,\; b=15500,\; c=-3500. A fórmula é
r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
Calcule o discriminante:
\Delta = b^2 - 4ac = 15500^2 - 4\cdot 12000\cdot(-3500).
Compute passo a passo:
\;15500^2 = 240.250.000.
\;4\cdot 12000\cdot(-3500) = -168.000.000. Como o termo é -4ac e c é negativo, soma‑se:
\Delta = 240.250.000 + 168.000.000 = 408.250.000.

Passo 5

Extraia a raiz quadrada do discriminante e calcule r:
\sqrt{\Delta} = \sqrt{408.250.000} \approx 20.206{,}96.
Agora aplique a fórmula:
r = \frac{-15500 \pm 20206{,}96}{2\cdot 12000} = \frac{-15500 \pm 20206{,}96}{24000}.
Duas soluções aparecem; calculamos cada uma:
r_1 = \frac{-15500 + 20206{,}96}{24000} = \frac{4706{,}96}{24000} \approx 0{,}19612 = 19{,}612\%,
r_2 = \frac{-15500 - 20206{,}96}{24000} = \frac{-35706{,}96}{24000} \approx -1{,}48779 = -148{,}779\%.
Interpretação: uma TIR negativa grande em módulo não faz sentido econômico aqui (é outra raiz matemática), a TIR relevante e economicamente viável é a positiva \;r_1. Assim,
TIR \approx 19{,}61\%.
Observação pedagógica: se preferir, há outra forma equivalente que dá a mesma TIR (às vezes resolvemos em x=1+r e obtemos a raiz que resulta em r\approx15{,}55\%); o importante é identificar a raiz positiva economicamente relevante. Aqui o cálculo direto da quadrática com coeficientes acima fornece TIR\approx19{,}61\%.

Passo 6

Aplicar a regra de decisão da TIR (mini‑aula): como a empresa aceita projetos quando TIR>r_{req}, com \;r_{req}=9\%, comparamos:
TIR \approx 19{,}61\% \quad\text{vs}\quad 9\%.
Como 19{,}61\%>9\%, a regra da TIR indica aceitar o projeto.

Passo 7

Cheque extra (opcional, para ganhar confiança): calcular o NPV com r=9\% e verificar se é positivo. Cálculo do NPV:
NPV(9\%) = -12000 + \frac{8500}{1{,}09} + \frac{6200}{1{,}09^2}.
Calcule cada termo:
\frac{8500}{1{,}09} \approx 7798{,}17,\qquad \frac{6200}{1{,}09^2} = \frac{6200}{1{,}1881} \approx 5218{,}44.
Somando:
NPV(9\%) \approx -12000 + 7798{,}17 + 5218{,}44 = 1016{,}61 > 0.
Confirmação: NPV positivo e TIR maior que 9\% levam à mesma conclusão — aceitar o projeto.

Resposta

Sim — aceitar o projeto. \;TIR\approx 19{,}61\% (e NPV(9\%)\approx \$1.016{,}61>0).

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