- Uma pessoa irá necessitar de um montante de
31.000,00
$
$ 290,00$ por período numa conta de poupança. Que taxa de juros deve esta conta pagar mensalmente para que o poupador receba o montante desejado ao final dos 4 anos?
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre a taxa de juros mensal que faz com que, após 4 anos, o poupador tenha um montante de
. As informações dadas são:
Pergunta explícita: Qual é a taxa de juros mensal
que faz com que, somando o crescimento do depósito inicial e o valor futuro dos depósitos mensais, o montante final seja
?
Passo 2
Vamos escrever a expressão do montante final como soma de duas partes:
- o valor futuro do depósito único feito hoje
aplicado por períodos a uma taxa mensal ; - o valor futuro de uma série de depósitos mensais iguais
(assumimos depósitos ao final de cada mês — anuidade ordinária) feitos por meses.
Fórmulas fundamentais (explicando tudo):
- O fator de acumulação de um valor presente
após períodos a taxa mensal é . Então o valor futuro desse depósito é
Aqui
é o valor depositado hoje,
é a taxa por período (mensal) e
é o número de períodos.
- O valor futuro de uma anuidade ordinária (depósitos iguais
ao final de cada período) em períodos é dado por
Explicando por que: cada depósito pago no final do período
(onde
) acumula por
períodos; somando esses termos obtemos uma série geométrica cuja soma é a fração acima. Nesta fórmula,
é o valor do depósito periódico,
é a taxa por período e
é o número de depósitos.
Passo 3
Montando a equação do problema (somando as duas partes e igualando ao montante desejado):
Substituindo os valores numéricos:
Esta é uma equação em
que não admite solução algébrica simples — é uma equação não-linear em
. Precisamos resolver numericamente (por tentativa, interpolação, método da bisseção ou Newton-Raphson). Eu vou usar tentativa/afinação (método prático para prova) mostrando como achar um intervalo que contém
e depois refinar.
Passo 4
Definimos a função cuja raiz procuramos:
Queremos
. Primeiro checamos limites simples para ver onde a raiz pode estar:
- Se
(juros zero), o montante seria
ou seja
. Portanto precisamos de
.
Agora vamos testar alguns valores plausíveis de
(vou mostrar as contas de forma clara). Para cada tentativa calculo
, depois as duas parcelas e a soma.
Passo 5
Teste inicial em
(1% ao mês):
Total aproximado:
. Ainda menor que
. Logo
.
Teste em
(2% ao mês):
Total aproximado:
. Ainda um pouco abaixo de
. Então
.
Teste em
(2,2% ao mês):
Total aproximado:
. Agora passou de
. Assim a raiz está entre
e
.
Passo 6
Vamos refinar a busca dentro do intervalo
.
Teste em
(2,1% ao mês):
Total aproximado:
. Abaixo de
. Então a raiz está entre
e
.
Teste em
(2,16% ao mês):
Total aproximado:
. Muito próximo, ligeiramente abaixo de
(faltam cerca de
).
Teste em
(2,17% ao mês):
Total aproximado:
. Agora um pouco acima de
(excesso
).
Então a taxa desejada
está entre
e
.
Passo 7
Interpolação linear rápida para uma aproximação final (método prático e aceitável em prova quando a função é suave):
valores:
valores:
Interpolando para
:
Assim
Passo 8
Verificação rápida (substituindo
):
soma
. (Observe: esta verificação usa aproximações; com cálculo mais preciso obtém-se bem próximo de
.) O importante é que pelo processo de refinamento a taxa ficou em torno de
ao mês.