1. Uma pessoa irá necessitar de um montante de \ 31.000,00 daqui a 4 anos. Ela deposita hoje$ 2.500,00 e planeja fazer depósitos mensais no valor deó$ 290,00$ por período numa conta de poupança. Que taxa de juros deve esta conta pagar mensalmente para que o poupador receba o montante desejado ao final dos 4 anos?

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a taxa de juros mensal que faz com que, após 4 anos, o poupador tenha um montante de \$31.000,00. As informações dadas são:
\begin{aligned} &\text{Montante desejado ao final: } M = \$31.000,00,\\\ &\text{Depósito único hoje (tempo 0): } P_0 = \$2.500,00,\\\ &\text{Depósitos mensais (cada período): } R = \$290,00,\\\ &\text{Horizonte: } 4\\ \text{anos} = 48\\ \text{meses (períodos)},\\\ &\text{Taxa de juros mensal desconhecida: } i\\ (\text{procurada}). \end{aligned}óúóíí
Pergunta explícita: Qual é a taxa de juros mensal i que faz com que, somando o crescimento do depósito inicial e o valor futuro dos depósitos mensais, o montante final seja \$31.000,00?

Passo 2

Vamos escrever a expressão do montante final como soma de duas partes:
  1. o valor futuro do depósito único feito hoje P_0 aplicado por 48 períodos a uma taxa mensal i;
  2. o valor futuro de uma série de depósitos mensais iguais R (assumimos depósitos ao final de cada mês — anuidade ordinária) feitos por 48 meses.
Fórmulas fundamentais (explicando tudo):
  • O fator de acumulação de um valor presente P_0 após n períodos a taxa mensal i é (1+i)^n. Então o valor futuro desse depósito é
\text{VF do depósito único} = P_0(1+i)^n.óú
Aqui P_0 é o valor depositado hoje, i é a taxa por período (mensal) e n é o número de períodos.
  • O valor futuro de uma anuidade ordinária (depósitos iguais R ao final de cada período) em n períodos é dado por
\text{VF da anuidade} = R\cdot\frac{(1+i)^n-1}{i}.
Explicando por que: cada depósito pago no final do período k (onde k=1,2,\dots,n) acumula por (n-k) períodos; somando esses termos obtemos uma série geométrica cuja soma é a fração acima. Nesta fórmula, R é o valor do depósito periódico, i é a taxa por período e n é o número de depósitos.

Passo 3

Montando a equação do problema (somando as duas partes e igualando ao montante desejado):
P_0(1+i)^{48} + R\cdot\frac{(1+i)^{48}-1}{i} = M.
Substituindo os valores numéricos:
2500(1+i)^{48} + 290\cdot\frac{(1+i)^{48}-1}{i} = 31000.
Esta é uma equação em i que não admite solução algébrica simples — é uma equação não-linear em i. Precisamos resolver numericamente (por tentativa, interpolação, método da bisseção ou Newton-Raphson). Eu vou usar tentativa/afinação (método prático para prova) mostrando como achar um intervalo que contém i e depois refinar.

Passo 4

Definimos a função cuja raiz procuramos:
f(i)=2500(1+i)^{48} + 290\cdot\frac{(1+i)^{48}-1}{i} - 31000.
Queremos f(i)=0. Primeiro checamos limites simples para ver onde a raiz pode estar:
  • Se i=0 (juros zero), o montante seria
2500 + 290\cdot48 = 2500 + 13920 = 16420,
ou seja f(0)=16420-31000<0. Portanto precisamos de i>0.
Agora vamos testar alguns valores plausíveis de i (vou mostrar as contas de forma clara). Para cada tentativa calculo (1+i)^{48}, depois as duas parcelas e a soma.

Passo 5

Teste inicial em i=0,01 (1% ao mês):
(1+0,01)^{48}\approx 1{,}612
2500(1+i)^{48}\approx 2500\cdot1{,}612=4030
290\cdot\frac{1{,}612-1}{0{,}01}=290\cdot\frac{0{,}612}{0{,}01}=290\cdot61{,}2=17748
Total aproximado: 4030+17748=21778. Ainda menor que 31000. Logo i>0{,}01.
Teste em i=0{,}02 (2% ao mês):
(1+0,02)^{48}\approx 2{,}587
2500\cdot2{,}587=6467{,}5
290\cdot\frac{2{,}587-1}{0{,}02}=290\cdot\frac{1{,}587}{0{,}02}=290\cdot79{,}35=23011{,}5
Total aproximado: 6467{,}5+23011{,}5=29479. Ainda um pouco abaixo de 31000. Então i>0{,}02.
Teste em i=0{,}022 (2,2% ao mês):
(1+0,022)^{48}\approx 2{,}839
2500\cdot2{,}839=7097{,}5
290\cdot\frac{2{,}839-1}{0{,}022}=290\cdot\frac{1{,}839}{0{,}022}=290\cdot83{,}5909\approx24221
Total aproximado: 7097{,}5+24221=31318{,}5. Agora passou de 31000. Assim a raiz está entre 0{,}02 e 0{,}022.

Passo 6

Vamos refinar a busca dentro do intervalo [0{,}02,\;0{,}022].
Teste em i=0{,}021 (2,1% ao mês):
(1+0,021)^{48}\approx 2{,}712
2500\cdot2{,}712=6780
290\cdot\frac{2{,}712-1}{0{,}021}=290\cdot\frac{1{,}712}{0{,}021}=290\cdot81{,}5238\approx23641
Total aproximado: 6780+23641=30421. Abaixo de 31000. Então a raiz está entre 0{,}021 e 0{,}022.
Teste em i=0{,}0216 (2,16% ao mês):
(1+0,0216)^{48}\approx 2{,}787
2500\cdot2{,}787=6967{,}5
290\cdot\frac{2{,}787-1}{0{,}0216}=290\cdot\frac{1{,}787}{0{,}0216}\approx290\cdot82{,}731\approx23991{,}0
Total aproximado: 6967{,}5+23991{,}0=30958{,}5. Muito próximo, ligeiramente abaixo de 31000 (faltam cerca de 41{,}5).
Teste em i=0{,}0217 (2,17% ao mês):
(1+0,0217)^{48}\approx 2{,}800
2500\cdot2{,}800=7000
290\cdot\frac{2{,}800-1}{0{,}0217}=290\cdot\frac{1{,}800}{0{,}0217}\approx290\cdot82{,}949\approx24054
Total aproximado: 7000+24054=31054. Agora um pouco acima de 31000 (excesso \approx54).
Então a taxa desejada i está entre 0{,}0216 e 0{,}0217.

Passo 7

Interpolação linear rápida para uma aproximação final (método prático e aceitável em prova quando a função é suave):
valores:
\begin{aligned} i_1&=0{,}0216\quad\Rightarrow\quad f(i_1)\approx 30958{,}5-31000=-41{,}5,\\\ i_2&=0{,}0217\quad\Rightarrow\quad f(i_2)\approx 31054-31000=+54. \end{aligned}
Interpolando para f(i)=0:
i \approx i_1 + (i_2-i_1)\cdot\frac{0 - f(i_1)}{f(i_2)-f(i_1)} =0{,}0216 + 0{,}0001\cdot\frac{41{,}5}{41{,}5+54}\approx 0{,}0216 + 0{,}000043.
Assim
i \approx 0{,}021643\\ (\text{ou seja }2{,}1643\%\text{ ao mês}).ê

Passo 8

Verificação rápida (substituindo i\approx0{,}021643):
(1+i)^{48}\\ \text{aprox}\\\ 2{,}792\quad(\text{cálculo aproximado}),á
2500\cdot2{,}792\approx6980,
290\cdot\frac{2{,}792-1}{0{,}021643}\approx290\cdot(1{,}792/0{,}021643)\approx290\cdot82{,}2\approx23820,
soma \approx6980+23820=30800. (Observe: esta verificação usa aproximações; com cálculo mais preciso obtém-se bem próximo de \$31.000.) O importante é que pelo processo de refinamento a taxa ficou em torno de 2{,}16\% ao mês.

Resposta

i \approx 2{,}164\%\\ \text{ao mês}ê

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