- Um investimento sob análise tem um payback de seis anos e um custo de
434.000
12 %$, qual é o VPL do pior caso possível? E o VPL do melhor caso? Explique. Suponha que os fluxos de caixa sejam convencionais
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- Custo inicial (desembolso no tempo zero):
. - Payback (não descontado) igual a 6 anos.
- Taxa de retorno exigida:
. - Fluxos de caixa são convencionais (isto é: só há um desembolso inicial negativo e depois apenas entradas positivas).
Perguntas pedidas: - Qual o VPL (VPL = valor presente líquido = NPV) do pior caso possível compatível com essas informações?
- Qual o VPL do melhor caso possível compatível com essas informações?
Passo 2
Vou explicar os conceitos que vamos usar (bem devagar, passo a passo).
- Payback não descontado: é o menor número de anos necessários para que a soma acumulada das entradas nominais (sem descontar) iguale o desembolso inicial. Como o payback é 6 anos, isso significa que a soma das entradas dos anos
até é pelo menos , e a soma até o ano é menor que . - Fluxos convencionais significa que, depois do desembolso inicial, todas as entradas são não negativas. Isso evita sinais alternados que complicariam interpretação.
- VPL (NPV) é a soma dos valores presentes das entradas menos o desembolso inicial. Se chamarmos de
a entrada no final do ano (com ), então a fórmula do VPL é:
Como só temos desembolso em
e entradas positivas a partir de
, podemos escrever
Aqui cada
é o fluxo recebido no final do ano
. Explico:
é o fator de capitalização; dividir por ele traz o valor futuro
ao tempo zero (valor presente).
Passo 3
Traduzindo o que a condição “payback = 6” impõe sobre os
:
- Para
: . - Para
: .
Além disso,para todo (fluxos convencionais). Não temos mais informação sobre a distribuição dentro desses anos — só essas desigualdades nominais. Com isso podemos procurar extremos (pior e melhor caso) do VPL, variando a distribuição dos dentro das restrições.
Passo 4
Pior caso (VPL mínimo) — intuição e construção:
- Para minimizar o VPL (ou seja, tornar a soma dos valores presentes o menor possível) devemos atrasar o recebimento das entradas ao máximo permitido pelas condições. Dinheiro recebido mais tarde tem menor valor presente.
- A maneira mais “tardia” que ainda satisfaz payback = 6 é receber todo o montante necessário exatamente no final do ano 6 e nada nos anos 1–5. Assim escolhemos
e . Isso satisfaz e , logo payback = 6. - Calcular o VPL desse caso: primeiro o fator
. Vamos calcular passo a passo:
- Valor presente da entrada de
no ano 6:
- VPL no pior caso:
(ou seja, cerca de
.)
Passo 5
Melhor caso (VPL máximo) — intuição e construção:
- Para maximizar o VPL devemos antecipar as entradas o máximo possível, sempre respeitando a condição payback = 6. A restrição importante é que a soma até o ano 5 deve ser estritamente menor que
. Portanto não podemos receber os todos antes do ano 6. - Contudo, nada impede que recebamos uma quantia arbitrariamente próxima de
nos anos 1–5 (por exemplo, ) e um valor residual ínfimo no ano 6 para completar os . Assim, em limite, o valor presente das entradas pode se aproximar do valor presente de recebido no final do ano 1 (porque para maximizar o PV convém concentrar o montante o mais cedo possível; o ano 1 é o mais cedo permitido por payback > 0). - Portanto o supremo do VPL (o melhor caso teoricamente possível, considerando que payback = 6 não permite payback menor) é o limite em que quase todo o
é recebido no ano 1. Esse limite dá:
(exata divisão porque
).
- VPL no melhor caso (limite superior):
Observação técnica importante: esse valor é um supremo — não é alcançável exatamente se exigirmos que a soma até o ano 5 seja estritamente menor que
. Podemos ficar arbitrariamente próximos de
(por exemplo com
no ano 1 e
no ano 6), mas nunca ultrapassar esse limite. Assim o melhor caso possível em prática é qualquer número menor que, mas arbitrariamente próximo de,
.
Passo 6
Interpretação final e conclusão (rápida e motivadora):
- Mesmo no melhor caso (quando as entradas são tão antecipadas quanto permitido pelo payback = 6) o VPL é negativo, cerca de
no limite. No pior caso o VPL é muito pior, cerca de . - Conclusão prática: com taxa exigida de
esse investimento, dado apenas o payback de 6 anos e o desembolso, é desfavorável — mesmo na melhor configuração de tempos de entrada compatível com payback, o projeto tem VPL negativo. Força aí: isso te dá um critério claro na prova — se te der só payback e exigir NPV, raciocina sobre atrasar/antecipar fluxos e usa os limites como fiz acima.