1. Um investimento sob análise tem um payback de seis anos e um custo de \ 434.000 . Se o retorno exigido for12 %$, qual é o VPL do pior caso possível? E o VPL do melhor caso? Explique. Suponha que os fluxos de caixa sejam convencionais

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Custo inicial (desembolso no tempo zero): \$\,434.000.
  • Payback (não descontado) igual a 6 anos.
  • Taxa de retorno exigida: \,12\%.
  • Fluxos de caixa são convencionais (isto é: só há um desembolso inicial negativo e depois apenas entradas positivas).
    Perguntas pedidas:
  • Qual o VPL (VPL = valor presente líquido = NPV) do pior caso possível compatível com essas informações?
  • Qual o VPL do melhor caso possível compatível com essas informações?

Passo 2

Vou explicar os conceitos que vamos usar (bem devagar, passo a passo).
  • Payback não descontado: é o menor número de anos necessários para que a soma acumulada das entradas nominais (sem descontar) iguale o desembolso inicial. Como o payback é 6 anos, isso significa que a soma das entradas dos anos 1 até 6 é pelo menos \$\,434.000, e a soma até o ano 5 é menor que \$\,434.000.
  • Fluxos convencionais significa que, depois do desembolso inicial, todas as entradas são não negativas. Isso evita sinais alternados que complicariam interpretação.
  • VPL (NPV) é a soma dos valores presentes das entradas menos o desembolso inicial. Se chamarmos de C_t a entrada no final do ano t (com C_0=-434000), então a fórmula do VPL é:
\text{VPL}=\sum_{t=0}^{\infty}\frac{C_t}{(1+0{,}12)^t}.
Como só temos desembolso em t=0 e entradas positivas a partir de t=1, podemos escrever
\text{VPL}=\left(\sum_{t=1}^{\infty}\frac{C_t}{(1{,}12)^t}\right)-434000.
Aqui cada C_t é o fluxo recebido no final do ano t. Explico: (1{,}12)^t é o fator de capitalização; dividir por ele traz o valor futuro C_t ao tempo zero (valor presente).

Passo 3

Traduzindo o que a condição “payback = 6” impõe sobre os C_t:
  • Para t=1,\dots,5: \sum_{t=1}^{5} C_t < 434000.
  • Para t=1,\dots,6: \sum_{t=1}^{6} C_t \ge 434000.
    Além disso, C_t\ge 0 para todo t\ge1 (fluxos convencionais). Não temos mais informação sobre a distribuição dentro desses anos — só essas desigualdades nominais. Com isso podemos procurar extremos (pior e melhor caso) do VPL, variando a distribuição dos C_t dentro das restrições.

Passo 4

Pior caso (VPL mínimo) — intuição e construção:
  • Para minimizar o VPL (ou seja, tornar a soma dos valores presentes o menor possível) devemos atrasar o recebimento das entradas ao máximo permitido pelas condições. Dinheiro recebido mais tarde tem menor valor presente.
  • A maneira mais “tardia” que ainda satisfaz payback = 6 é receber todo o montante necessário exatamente no final do ano 6 e nada nos anos 1–5. Assim escolhemos C_1=\cdots=C_5=0 e C_6=434000. Isso satisfaz \sum_{t=1}^5 C_t=0<434000 e \sum_{t=1}^6 C_t=434000, logo payback = 6.
  • Calcular o VPL desse caso: primeiro o fator (1{,}12)^6. Vamos calcular passo a passo:
1{,}12^2=1{,}2544,
1{,}12^3=1{,}404928,
1{,}12^4=1{,}57351936,
1{,}12^5=1{,}7635416832,
1{,}12^6=1{,}975166685184.
  • Valor presente da entrada de \$\,434.000 no ano 6:
\text{PV}_{6}=\frac{434000}{1{,}12^{6}}=\frac{434000}{1{,}975166685184}\approx \$\,219{,}729\quad(\text{aprox.}).
  • VPL no pior caso:
\text{VPL}_{\text{pior}}=\text{PV}_{6}-434000\approx 219{,}729-434{,}000\approx -\$\,214{,}271.
(ou seja, cerca de -\$\,214{,}271.)

Passo 5

Melhor caso (VPL máximo) — intuição e construção:
  • Para maximizar o VPL devemos antecipar as entradas o máximo possível, sempre respeitando a condição payback = 6. A restrição importante é que a soma até o ano 5 deve ser estritamente menor que \$\,434.000. Portanto não podemos receber os \$\,434.000 todos antes do ano 6.
  • Contudo, nada impede que recebamos uma quantia arbitrariamente próxima de \$\,434.000 nos anos 1–5 (por exemplo, \$\,433.999,99) e um valor residual ínfimo no ano 6 para completar os \$\,434.000. Assim, em limite, o valor presente das entradas pode se aproximar do valor presente de \$\,434.000 recebido no final do ano 1 (porque para maximizar o PV convém concentrar o montante o mais cedo possível; o ano 1 é o mais cedo permitido por payback > 0).
  • Portanto o supremo do VPL (o melhor caso teoricamente possível, considerando que payback = 6 não permite payback menor) é o limite em que quase todo o \$\,434.000 é recebido no ano 1. Esse limite dá:
\text{PV}_{\text{máx\_teórico}}=\frac{434000}{1{,}12}=\frac{434000}{1{,}12}=\$\,387{,}500áó
(exata divisão porque 434000\times\frac{100}{112}=434000\times\frac{25}{28}=387500).
  • VPL no melhor caso (limite superior):
\text{VPL}_{\text{melhor (supremo)}}=\$\,387{,}500-434{,}000=-\$\,46{,}500.
Observação técnica importante: esse valor é um supremo — não é alcançável exatamente se exigirmos que a soma até o ano 5 seja estritamente menor que \$\,434.000. Podemos ficar arbitrariamente próximos de -\$\,46{,}500 (por exemplo com \$\,433{,}999 no ano 1 e \$\,1 no ano 6), mas nunca ultrapassar esse limite. Assim o melhor caso possível em prática é qualquer número menor que, mas arbitrariamente próximo de, -\$\,46{,}500.

Passo 6

Interpretação final e conclusão (rápida e motivadora):
  • Mesmo no melhor caso (quando as entradas são tão antecipadas quanto permitido pelo payback = 6) o VPL é negativo, cerca de -\$\,46{,}500 no limite. No pior caso o VPL é muito pior, cerca de -\$\,214{,}271.
  • Conclusão prática: com taxa exigida de 12\% esse investimento, dado apenas o payback de 6 anos e o desembolso, é desfavorável — mesmo na melhor configuração de tempos de entrada compatível com payback, o projeto tem VPL negativo. Força aí: isso te dá um critério claro na prova — se te der só payback e exigir NPV, raciocina sobre atrasar/antecipar fluxos e usa os limites como fiz acima.

Resposta

\text{VPL}_{\text{pior}}\approx -\$\,214{,}271
\text{VPL}_{\text{melhor (supremo)}}\approx -\$\,46{,}500

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