Resolva o problema de valor inicial dado. Utilize um software para gera o gráfico da solução obtida. Dica: Utilize o software Geogebra
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial de primeira ordem com condição inicial. Vou listar claramente o que está dado e o que é pedido:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
. - O objetivo: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial e gerar o gráfico da solução (o uso do GeoGebra foi recomendado).
Observações importantes retiradas do enunciado:
-
aparece como uma função de genérica (não foi especificado um numérico). Portanto a solução será escrita em forma geral, em termos de . - Não devo pedir informação adicional, então vou apresentar a solução geral em termos de
e mostrar exemplos concretos (casos simples de ) e como traçar o gráfico no GeoGebra.
Passo 2
Qual é o método apropriado? Vamos usar o método do fator integrante para equações lineares de primeira ordem. Explicando devagar e didaticamente:
- Uma equação linear de primeira ordem tem a forma padrão
. Aqui e . - A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por uma função
de modo que o lado esquerdo vire a derivada do produto . Ou seja, queremos . - Para que isso ocorra,
deve satisfazer . Isso é uma equação separável simples, cuja solução é . - Depois de multiplicar por
, a equação fica e então integramos para achar .
Vou aplicar esse procedimento ao nosso caso.
Passo 3
Defino o fator integrante de forma conveniente com integral definida a partir de
(isso simplifica a aplicação da condição inicial):
- Definir
Observação didática: essa definição satisfaz
e tem
, o que é útil para usar
.
Multiplicando a equação original por
obtemos
Pelo design do
, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 4
Integro ambos os lados entre
e
. Isso evita constantes indefinidas e permite aplicar direto
:
- Integração:
- Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, o lado esquerdo dá
- Como
e , obtemos
Agora isolamos
.
Passo 5
Isolando
pela expressão de
:
- Multiplicando por
,
- Reescrevendo com a definição de
,
Esta é a solução geral que satisfaz a condição inicial, escrita em termos de
. Interpretação: para usar esta fórmula em prova, basta conhecer (ou saber integrar)
para calcular os expoentes e a integral interior.
Passo 6
Vou ensinar como proceder na prova, passo a passo curto e prático (o que fazer quando
for dado):
- Calcule
(se possível analiticamente). - Forme
. - Calcule a integral
. Se necessário, use integração por partes. - Substitua tudo em
. - Verifique
como checagem.
Para fixar a ideia, vou resolver dois exemplos concretos rápidos (esses são exemplos extras para treinar; no enunciado
não foi especificado):
Exemplo A:
.
-
. -
. - Logo
.
Exemplo B:
(constante).
-
. - Calcular
. Integração por partes: - Tome
, então , . -
. - Avaliando de
a : .
- Tome
- Então
Cheque rápido:
, ok.
Passo 7
Instruções práticas para traçar o gráfico no GeoGebra (passo a passo). Como eu não posso executar o GeoGebra aqui, mostro exatamente o que digitar — assim você copia e cola no GeoGebra Classic:
- Abra GeoGebra Classic (ou GeoGebra CAS).
- Defina
. Exemplo: para digite na entrada:
P(x) := 1
(ou para o caso geral troque por P(x):= <expressão desejada>) - Defina o fator integrante com integral definida:
mu(x) := exp(Integral(P(t), t, 0, x)) - Defina a constante inicial (opcional):
y0 := 3 - Defina a solução pelo formulário com integral definida:
y(x) := ( y0 + Integral( 4tmu(t), t, 0, x) ) / mu(x) - Pressione Enter. GeoGebra irá criar a função y(x) e traçar o gráfico automaticamente.
- Se quiser traçar para um intervalo específico, por exemplo
a , use:
f(x) := y(x)
Function[f, -5, 5] - Para o exemplo
você verá a curva . Para verá .
Dicas extras no GeoGebra:
- Se o GeoGebra reclamar sobre a integral simbólica, use a versão numérica: defina mu(x) usando a primitiva simbólica se possível, ou use a ferramenta CAS para obter primitivas; em muitos casos GeoGebra resolve integradas elementares automaticamente.
- Para exportar o gráfico: use o menu > Exportar > Imagem… e salve.
Passo 8
Resumo pedagógico final (como lembrar na prova):
- Identifique
e . - Use
. Com a escolha de integral com limite a a condição inicial entra de forma direta. - A solução com condição
fica sempre:
- No nosso caso
.