Resolva o problema de valor inicial dado. Utilize um software para gera o gráfico da solução obtida. Dica: Utilize o software Geogebra
y^{\prime}+P(x) y=4 x, \quad y(0)=3

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial de primeira ordem com condição inicial. Vou listar claramente o que está dado e o que é pedido:
  • Equação diferencial: y^{\prime}+P(x)\,y=4x.
  • Condição inicial: y(0)=3.
  • O objetivo: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial e gerar o gráfico da solução (o uso do GeoGebra foi recomendado).
Observações importantes retiradas do enunciado:
  • P(x) aparece como uma função de x genérica (não foi especificado um P(x) numérico). Portanto a solução será escrita em forma geral, em termos de P.
  • Não devo pedir informação adicional, então vou apresentar a solução geral em termos de P e mostrar exemplos concretos (casos simples de P) e como traçar o gráfico no GeoGebra.

Passo 2

Qual é o método apropriado? Vamos usar o método do fator integrante para equações lineares de primeira ordem. Explicando devagar e didaticamente:
  • Uma equação linear de primeira ordem tem a forma padrão y'+p(x)\,y=q(x). Aqui p(x)=P(x) e q(x)=4x.
  • A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por uma função \mu(x) de modo que o lado esquerdo vire a derivada do produto \mu(x)y(x). Ou seja, queremos \mu(x)y'(x)+\mu(x)p(x)y(x)=(\mu(x)y(x))'.
  • Para que isso ocorra, \mu deve satisfazer \mu'(x)=\mu(x)p(x). Isso é uma equação separável simples, cuja solução é \mu(x)=\exp\!\big(\int p(x)\,dx\big).
  • Depois de multiplicar por \mu, a equação fica (\mu y)'=\mu q(x) e então integramos para achar \mu(x)y(x)=\int \mu(x) q(x)\,dx + C.
Vou aplicar esse procedimento ao nosso caso.

Passo 3

Defino o fator integrante de forma conveniente com integral definida a partir de 0 (isso simplifica a aplicação da condição inicial):
  • Definir
\mu(x)=\exp\!\left(\int_{0}^{x} P(t)\,dt\right).
Observação didática: essa definição satisfaz \mu'(x)=P(x)\mu(x) e tem \mu(0)=1, o que é útil para usar y(0).
Multiplicando a equação original por \mu(x) obtemos
\mu(x)y'(x)+\mu(x)P(x)y(x)=\mu(x)\cdot 4x.
Pelo design do \mu, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\big(\mu(x)y(x)\big)' = 4x\,\mu(x).

Passo 4

Integro ambos os lados entre 0 e x. Isso evita constantes indefinidas e permite aplicar direto y(0):
  • Integração:
\int_{0}^{x} \big(\mu(s)y(s)\big)'\,ds = \int_{0}^{x} 4s\,\mu(s)\,ds.
  • Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, o lado esquerdo dá
\mu(x)y(x)-\mu(0)y(0)=\int_{0}^{x} 4s\,\mu(s)\,ds.
  • Como \mu(0)=1 e y(0)=3, obtemos
\mu(x)y(x) = 3 + \int_{0}^{x} 4s\,\mu(s)\,ds.
Agora isolamos y(x).

Passo 5

Isolando y(x) pela expressão de \mu:
  • Multiplicando por 1/\mu(x),
y(x) = \mu(x)^{-1}\left(3 + \int_{0}^{x} 4s\,\mu(s)\,ds\right).
  • Reescrevendo com a definição de \mu,
\boxed{\,y(x)=\exp\!\left(-\int_{0}^{x} P(t)\,dt\right)\left(3+\int_{0}^{x}4s\exp\!\left(\int_{0}^{s}P(u)\,du\right)\,ds\right)\,}
Esta é a solução geral que satisfaz a condição inicial, escrita em termos de P. Interpretação: para usar esta fórmula em prova, basta conhecer (ou saber integrar) P para calcular os expoentes e a integral interior.

Passo 6

Vou ensinar como proceder na prova, passo a passo curto e prático (o que fazer quando P for dado):
  1. Calcule \int_{0}^{x} P(t)\,dt (se possível analiticamente).
  2. Forme \mu(x)=\exp\!\big(\int_{0}^{x} P(t)\,dt\big).
  3. Calcule a integral \int_{0}^{x} 4s\,\mu(s)\,ds. Se necessário, use integração por partes.
  4. Substitua tudo em y(x)=\mu(x)^{-1}\big(3+\int_{0}^{x}4s\mu(s)\,ds\big).
  5. Verifique y(0)=3 como checagem.
Para fixar a ideia, vou resolver dois exemplos concretos rápidos (esses são exemplos extras para treinar; no enunciado P não foi especificado):
Exemplo A: P(x)=0.
  • \mu(x)=\exp(0)=1.
  • \int_{0}^{x}4s\cdot 1\,ds = 2x^{2}.
  • Logo y(x)=1^{-1}\,(3+2x^{2}) = 3+2x^{2}.
Exemplo B: P(x)=1 (constante).
  • \mu(x)=\exp\!\left(\int_{0}^{x}1\,dt\right)=e^{x}.
  • Calcular \int_{0}^{x}4s e^{s}\,ds. Integração por partes:
    • Tome u=4s, dv=e^{s}ds então du=4ds, v=e^{s}.
    • \int 4s e^{s} ds = 4s e^{s} - \int 4 e^{s} ds = 4e^{s}(s-1)+C.
    • Avaliando de 0 a x: 4e^{x}(x-1) - 4e^{0}(0-1) = 4e^{x}(x-1)+4.
  • Então
y(x)=e^{-x}\big(3 + 4e^{x}(x-1)+4\big) = e^{-x}(7+4e^{x}(x-1)) = 7e^{-x}+4(x-1).
Cheque rápido: y(0)=7\cdot1 +4(-1)=7-4=3, ok.

Passo 7

Instruções práticas para traçar o gráfico no GeoGebra (passo a passo). Como eu não posso executar o GeoGebra aqui, mostro exatamente o que digitar — assim você copia e cola no GeoGebra Classic:
  • Abra GeoGebra Classic (ou GeoGebra CAS).
  • Defina P(x). Exemplo: para P(x)=1 digite na entrada:
    P(x) := 1
    (ou para o caso geral troque por P(x):= <expressão desejada>)
  • Defina o fator integrante com integral definida:
    mu(x) := exp(Integral(P(t), t, 0, x))
  • Defina a constante inicial (opcional):
    y0 := 3
  • Defina a solução pelo formulário com integral definida:
    y(x) := ( y0 + Integral( 4tmu(t), t, 0, x) ) / mu(x)
  • Pressione Enter. GeoGebra irá criar a função y(x) e traçar o gráfico automaticamente.
  • Se quiser traçar para um intervalo específico, por exemplo -5 a 5, use:
    f(x) := y(x)
    Function[f, -5, 5]
  • Para o exemplo P(x)=1 você verá a curva y(x)=7e^{-x}+4(x-1). Para P(x)=0 verá y(x)=3+2x^{2}.
Dicas extras no GeoGebra:
  • Se o GeoGebra reclamar sobre a integral simbólica, use a versão numérica: defina mu(x) usando a primitiva simbólica se possível, ou use a ferramenta CAS para obter primitivas; em muitos casos GeoGebra resolve integradas elementares automaticamente.
  • Para exportar o gráfico: use o menu > Exportar > Imagem… e salve.

Passo 8

Resumo pedagógico final (como lembrar na prova):
  • Identifique p(x)=P(x) e q(x)=4x.
  • Use \mu(x)=\exp\!\big(\int p(x)\,dx\big). Com a escolha de integral com limite 0 a x a condição inicial entra de forma direta.
  • A solução com condição y(0)=y_{0} fica sempre:
y(x)=\exp\!\left(-\int_{0}^{x} P(t)\,dt\right)\left(y_{0}+\int_{0}^{x}4s\exp\!\left(\int_{0}^{s}P(u)\,du\right)\,ds\right).
  • No nosso caso y_{0}=3.

Resposta

\displaystyle y(x)=\exp\!\left(-\int_{0}^{x} P(t)\,dt\right)\left(3+\int_{0}^{x}4s\exp\!\left(\int_{0}^{s}P(u)\,du\right)\,ds\right)

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