Resolva o problema de valor inicial dado. Utilize um software para gera o gráfico da solução obtida. Dica: Utilize o software Geogebra
\left(1+x^{2}\right) \frac{d y}{d x}+2 x y=f(x)
f(x)=\left{ \begin{array}{lr}x, & 0 \leq x \leq 1 \\-x, & x>1\end{array}, y(0)=0\right.$

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial linear de primeira ordem com termo fonte (forçamento) em função de x\), definido por partes, e uma condição inicial. Especificamente: - Equação diferencial: \[\left(1+x^{2}\right)\frac{dy}{dx}+2x\,y=f(x).
  • Função forçante dada por partes:
f(x)=\begin{cases} x, & 0\le x\le 1,\\[4pt] -x, & x>1, \end{cases}
  • Condição inicial:
y(0)=0.
O que o problema pede:
  • Determinar a solução y(x)\] que satisfaz a equação e a condição inicial, para \(x\ge 0 (já que f(x) está definida a partir de 0).
  • Gerar (ou indicar como gerar) o gráfico da solução obtida usando um software (dica: GeoGebra).]

Passo 2

Transformar a equação para a forma padrão de equação linear de primeira ordem e encontrar o fator integrante.
Primeiro, dividir por \left(1+x^{2}\right) para escrever em forma padrão:
\frac{dy}{dx}+\frac{2x}{1+x^{2}}\,y=\frac{f(x)}{1+x^{2}}.
Aqui a função multiplicadora de y é p(x)=\dfrac{2x}{1+x^{2}}.
Regra do fator integrante: para uma equação da forma \dfrac{dy}{dx}+p(x)y=g(x), o fator integrante \mu(x) é
\mu(x)=\exp\left(\int p(x)\,dx\right).
Calculando \mu(x) no nosso caso:
\int p(x)\,dx=\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.
Fazendo substituição direta nota-se que \dfrac{d}{dx}(1+x^{2})=2x, então
\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx=\ln(1+x^{2}) + C,
logo podemos tomar o fator integrante (ignorando constante multiplicativa) como
\mu(x)=\exp(\ln(1+x^{2}))=1+x^{2}.
Multiplicando toda a equação original por \mu(x)=1+x^{2} (que aqui é exatamente o termo que já multiplica \dfrac{dy}{dx} na forma original) obtemos a forma exata:
\frac{d}{dx}\bigl[(1+x^{2})y\bigr]=f(x).
Isto é uma observação muito útil: a equação original já foi escrita de modo que a derivada total de (1+x^{2})y é exatamente o lado direito f(x).

Passo 3

Integrar a relação obtida para a primeira parte 0\le x\le 1 (onde f(x)=x) e aplicar a condição inicial.
Para 0\le x\le 1 temos
\frac{d}{dx}\bigl[(1+x^{2})y\bigr]=x.
Integrando ambos os lados em relação a x:
(1+x^{2})y=\int x\,dx + C_{1}=\frac{x^{2}}{2}+C_{1}.
Usamos a condição inicial y(0)=0. Substituindo x=0:
(1+0) \cdot 0 = \frac{0^{2}}{2}+C_{1}\quad\Rightarrow\quad C_{1}=0.
Portanto, para 0\le x\le 1,
(1+x^{2})y=\frac{x^{2}}{2},
que ao isolar y
y(x)=\frac{x^{2}}{2(1+x^{2})},\qquad 0\le x\le 1.
Comentário didático curto: esse é o procedimento padrão com fator integrante — transformar a equação em uma derivada total e integrar. Note que a constante de integração foi fixada usando a condição inicial em x=0.

Passo 4

Resolver para a segunda parte x>1 (onde f(x)=-x) e impor continuidade em x=1 para determinar a constante de integração.
Para x>1 a equação se torna
\frac{d}{dx}\bigl[(1+x^{2})y\bigr]=-x.
Integrando:
(1+x^{2})y=\int -x\,dx + C_{2}=-\frac{x^{2}}{2}+C_{2}.
Agora devemos determinar C_{2}. A solução deve ser contínua em x=1 porque a variável y aparece multiplicada por (1+x^{2}) e a integração nos obriga a manter continuação da primitiva; mais diretamente, para uma equação de primeira ordem com forçamento em degrau, toma-se o valor de y à direita como determinado pelo limite à esquerda (condição de continuidade da solução). Assim impomos
y(1^{+})=y(1^{-}).
Já calculamos y(1^{-}) usando a primeira expressão:
y(1)=\frac{1^{2}}{2(1+1^{2})}=\frac{1}{4}.
Avaliar a expressão geral no ponto x=1:
(1+1^{2})y(1)=2\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}.
Isto deve ser igual ao valor da primitiva no lado direito em x=1:
-\frac{1^{2}}{2}+C_{2}=-\frac{1}{2}+C_{2}.
Logo
-\frac{1}{2}+C_{2}=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad C_{2}=1.
Portanto, para x>1,
(1+x^{2})y=-\frac{x^{2}}{2}+1.
Isolando y e simplificando:
y(x)=\frac{-\dfrac{x^{2}}{2}+1}{1+x^{2}}=\frac{2-x^{2}}{2(1+x^{2})},\qquad x>1.
Pequena verificação de continuidade: avaliando essa expressão em x=1 obtemos y(1)=\dfrac{2-1}{2(2)}=\dfrac{1}{4}, consistente com o lado esquerdo.

Passo 5

Verificação rápida da solução e comentário sobre derivabilidade em x=1.
Verificação direta usando a relação integrada \dfrac{d}{dx}\bigl[(1+x^{2})y\bigr]=f(x):
  • Para 0\le x\le 1 temos (1+x^{2})y=\dfrac{x^{2}}{2}. Derivando:
\frac{d}{dx}\bigl[(1+x^{2})y\bigr]=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)=x=f(x).
  • Para x>1 temos (1+x^{2})y=-\dfrac{x^{2}}{2}+1. Derivando:
\frac{d}{dx}\bigl[(1+x^{2})y\bigr]=-\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)=-x=f(x).
Assim a equação é satisfeita em cada ramo.
Sobre derivabilidade em x=1: calcular y'(1^{-}) e y'(1^{+}) pela fórmula original reorganizada:
\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)-2x y}{1+x^{2}}.
  • Para x\to1^{-}: f(1^{-})=1, y(1)=\tfrac{1}{4} então
y'(1^{-})=\frac{1-2\cdot1\cdot\frac{1}{4}}{2}=\frac{1-\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}.
  • Para x\to1^{+}: f(1^{+})=-1, y(1)=\tfrac{1}{4} então
y'(1^{+})=\frac{-1-2\cdot1\cdot\frac{1}{4}}{2}=\frac{-1-\frac{1}{2}}{2}=-\frac{3}{4}.
Portanto y' tem salto em x=1: a solução é contínua em x=1 mas não diferenciável ali (isso é esperado quando o lado direito f(x) tem descontinuidade no valor).

Passo 6

Como gerar o gráfico da solução no GeoGebra (instruções passo a passo, com a função partilhada em dois ramos).
Sugestão de domínio a plotar: por exemplo x\in[0,4] para ver o comportamento após x=1.
Método 1 — usar uma função por partes (sintaxe direta no GeoGebra):
  • Abra o GeoGebra (Calculadora Gráfica).
  • Na barra de entrada digite a função por partes (uma forma válida no GeoGebra é usar If):
\text{y}(x)=\text{If}\left[0\le x \wedge x\le 1,\\ \frac{x^{2}}{2(1+x^{2})},\\ \frac{2-x^{2}}{2(1+x^{2})}\right]
ou, em notação que o GeoGebra aceita sem espaços e com parênteses:
\text{If}[0\le x \wedge x\le 1,\\ (x^{2})/(2(1+x^{2})),\\ (2-x^{2})/(2(1+x^{2}))]
  • Pressione Enter. O GeoGebra desenhará a curva com a ruptura em x=1.
Método 2 — inserir os dois ramos separadamente com restrição de domínio:
  • Digite:
y_{1}(x)=\frac{x^{2}}{2(1+x^{2})}
e depois restrinja a exibição apenas para 0\le x\le 1 (no GeoGebra pode-se criar a função restrita assim: \text{Function}\bigl(x^{2}/(2(1+x^{2})),0,1\bigr) ou usar o comando If).
  • Digite:
y_{2}(x)=\frac{2-x^{2}}{2(1+x^{2})}
e restrinja para x\ge 1 (por exemplo 1\le x\le 4 para visualizar num intervalo finito).
  • Ajuste os eixos e janela de visualização conforme desejar.
Dica prática para digitar no GeoGebra: escreva explicitamente multiplicações como * e parênteses completos, por exemplo em GeoGebra prefira digitar (x^2)/(2*(1+x^2)) e (2-x^2)/(2*(1+x^2)). Use a ferramenta de entrada para criar uma função por partes com If se preferir um único objeto.

Passo 7

Resumo final do procedimento e verificação intuitiva:
  • Encontramos um fator integrante simples que transforma a equação em \dfrac{d}{dx}\bigl[(1+x^{2})y\bigr]=f(x).
  • Integramos em cada intervalo onde f(x) é conhecido, obtendo constantes de integração diferentes em cada ramo.
  • A constante do segundo ramo foi determinada impondo continuidade de y em x=1 (igualdade das primitivas em x=1).
  • Conferimos que a solução satisfaz a equação em cada ramo e notamos que y' tem salto em x=1, o que é natural devido à descontinuidade do sinal em f(x).

Resposta

y(x)=\begin{cases} \dfrac{x^{2}}{2(1+x^{2})}, & 0\le x\le 1,\\[8pt] \dfrac{2-x^{2}}{2(1+x^{2})}, & x>1. \end{cases}]

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