Resolva o problema de valor inicial dado. Utilize um software para gera o gráfico da solução obtida. Dica: Utilize o software Geogebra
f(x)=\left{
, y(0)=0\right.$
f(x)=\left{
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial linear de primeira ordem com termo fonte (forçamento) em função de
- Função forçante dada por partes:
- Condição inicial:
O que o problema pede:
- Determinar a solução
(já que
está definida a partir de ). - Gerar (ou indicar como gerar) o gráfico da solução obtida usando um software (dica: GeoGebra).]
Passo 2
Transformar a equação para a forma padrão de equação linear de primeira ordem e encontrar o fator integrante.
Primeiro, dividir por
para escrever em forma padrão:
Aqui a função multiplicadora de
é
.
Regra do fator integrante: para uma equação da forma
, o fator integrante
é
Calculando
no nosso caso:
Fazendo substituição direta nota-se que
, então
logo podemos tomar o fator integrante (ignorando constante multiplicativa) como
Multiplicando toda a equação original por
(que aqui é exatamente o termo que já multiplica
na forma original) obtemos a forma exata:
Isto é uma observação muito útil: a equação original já foi escrita de modo que a derivada total de
é exatamente o lado direito
.
Passo 3
Integrar a relação obtida para a primeira parte
(onde
) e aplicar a condição inicial.
Para
temos
Integrando ambos os lados em relação a
:
Usamos a condição inicial
. Substituindo
:
Portanto, para
,
que ao isolar
dá
Comentário didático curto: esse é o procedimento padrão com fator integrante — transformar a equação em uma derivada total e integrar. Note que a constante de integração foi fixada usando a condição inicial em
.
Passo 4
Resolver para a segunda parte
(onde
) e impor continuidade em
para determinar a constante de integração.
Para
a equação se torna
Integrando:
Agora devemos determinar
. A solução deve ser contínua em
porque a variável
aparece multiplicada por
e a integração nos obriga a manter continuação da primitiva; mais diretamente, para uma equação de primeira ordem com forçamento em degrau, toma-se o valor de
à direita como determinado pelo limite à esquerda (condição de continuidade da solução). Assim impomos
Já calculamos
usando a primeira expressão:
Avaliar a expressão geral no ponto
:
Isto deve ser igual ao valor da primitiva no lado direito em
:
Logo
Portanto, para
,
Isolando
e simplificando:
Pequena verificação de continuidade: avaliando essa expressão em
obtemos
, consistente com o lado esquerdo.
Passo 5
Verificação rápida da solução e comentário sobre derivabilidade em
.
Verificação direta usando a relação integrada
:
- Para
temos . Derivando:
- Para
temos . Derivando:
Assim a equação é satisfeita em cada ramo.
Sobre derivabilidade em
: calcular
e
pela fórmula original reorganizada:
- Para
: , então
- Para
: , então
Portanto
tem salto em
: a solução é contínua em
mas não diferenciável ali (isso é esperado quando o lado direito
tem descontinuidade no valor).
Passo 6
Como gerar o gráfico da solução no GeoGebra (instruções passo a passo, com a função partilhada em dois ramos).
Sugestão de domínio a plotar: por exemplo
para ver o comportamento após
.
Método 1 — usar uma função por partes (sintaxe direta no GeoGebra):
- Abra o GeoGebra (Calculadora Gráfica).
- Na barra de entrada digite a função por partes (uma forma válida no GeoGebra é usar If):
ou, em notação que o GeoGebra aceita sem espaços e com parênteses:
- Pressione Enter. O GeoGebra desenhará a curva com a ruptura em
.
Método 2 — inserir os dois ramos separadamente com restrição de domínio:
- Digite:
e depois restrinja a exibição apenas para
(no GeoGebra pode-se criar a função restrita assim:
ou usar o comando If).
- Digite:
e restrinja para
(por exemplo
para visualizar num intervalo finito).
- Ajuste os eixos e janela de visualização conforme desejar.
Dica prática para digitar no GeoGebra: escreva explicitamente multiplicações como
e parênteses completos, por exemplo em GeoGebra prefira digitar
e
. Use a ferramenta de entrada para criar uma função por partes com If se preferir um único objeto.
Passo 7
Resumo final do procedimento e verificação intuitiva:
- Encontramos um fator integrante simples que transforma a equação em
. - Integramos em cada intervalo onde
é conhecido, obtendo constantes de integração diferentes em cada ramo. - A constante do segundo ramo foi determinada impondo continuidade de
em (igualdade das primitivas em ). - Conferimos que a solução satisfaz a equação em cada ramo e notamos que
tem salto em , o que é natural devido à descontinuidade do sinal em .