Uma pedra é lançada de uma altura de 19,6 m acima do solo enquanto uma segunda pedra é simultaneamente lançada do solo com velocidade suficiente para subir 19,6 m. Quando e onde as pedras se encontrariam?
[R: Se encontrariam depois de 1 s e 14,7 metros acima do solo.]

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que está dito e a hipótese necessária para poder resolver sem mais dados):
  • Uma pedra parte de uma altura de 19{,}6\\ \text{m} acima do solo no instante t=0.
  • Simultaneamente, outra pedra é lançada do solo com velocidade inicial suficiente para atingir uma altura máxima de 19{,}6\\ \text{m}.
  • Pede-se saber quando (tempo após o lançamento) e onde (altura acima do solo) as duas pedras se encontrariam.
Hipótese adotada (necessária porque o enunciado não especifica): interpretar que a pedra que parte de 19{,}6\\ \text{m} é largada sem velocidade inicial (ou seja, lançada com velocidade inicial 0); esta é a interpretação que leva à resposta fornecida. Também adotamos a aceleração da gravidade igual a \,g=9{,}8\\ \text{m}\,\text{s}^{-2} e desprezamos resistência do ar.

Passo 2

Determinar a velocidade inicial da pedra lançada do solo (chamarei essa velocidade de v_0). Para um projétil lançado verticalmente para cima, a relação entre velocidade inicial v_0, gravidade g e altura máxima h é
h=\frac{v_0^2}{2g}.
Explicando essa fórmula de forma didática: a equação vem da fórmula do movimento uniforme variado em forma energética ou cinemática. Usando a fórmula v^2=v_0^2+2a\Delta y com v=0 no ponto mais alto, a=-g e \Delta y=h, obtemos 0=v_0^2-2gh, ou seja v_0^2=2gh. Aqui:
  • v_0 é a velocidade inicial da pedra lançada para cima (em \text{m/s});
  • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}8\\ \text{m}\,\text{s}^{-2});
  • h é a altura máxima alcançada (aqui 19{,}6\\ \text{m}).
Agora calculamos:
v_0=\sqrt{2 g h}=\sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 19{,}6}=\sqrt{384{,}16}=19{,}6\\ \text{m/s}.
Observação simpática: neste problema v_0 dá exatamente 19{,}6\\ \text{m/s}, igual numericamente à altura em metros — é coincidência conveniente que facilita as contas.

Passo 3

Escrever as equações horárias (posições) das duas pedras usando a fórmula do movimento com aceleração constante:
y(t)=y_0+v_{0}t+\tfrac{1}{2}a t^2,
onde
  • y(t) é a posição vertical no tempo t (em metros),
  • y_0 é a posição inicial (em metros),
  • v_0 é a velocidade inicial (em \text{m/s}),
  • a é a aceleração (em \text{m/s}^2); aqui a=-g porque escolhemos o sentido positivo para cima.
Escolhendo a origem y=0 no solo e sentido positivo para cima:
  • Para a pedra superior (a que foi largada de 19{,}6\\ \text{m} com velocidade inicial nula): y_{A0}=19{,}6\\ \text{m}, v_{A0}=0. Assim
y_A(t)=19{,}6+0\cdot t-\tfrac{1}{2}g t^2=19{,}6-\tfrac{1}{2}\,g t^2.
Substituindo g=9{,}8 obtemos
y_A(t)=19{,}6-4{,}9\,t^2.
  • Para a pedra que sai do solo para cima: y_{B0}=0, v_{B0}=v_0=19{,}6\\ \text{m/s}. Assim
y_B(t)=0+19{,}6\,t-\tfrac{1}{2}g t^2=19{,}6\,t-4{,}9\,t^2.

Passo 4

Determinar o tempo de encontro: as pedras se encontram quando suas alturas são iguais, ou seja quando y_A(t)=y_B(t). Igualando as expressões:
19{,}6-4{,}9\,t^2 = 19{,}6\,t-4{,}9\,t^2.
Repare que os termos -4{,}9\,t^2 aparecem em ambos os lados; eles se cancelam, o que simplifica muito:
19{,}6 = 19{,}6\,t.
Isolando t:
t=\frac{19{,}6}{19{,}6}=1\\ \text{s}.
Explicando a cancelamento: os termos -\tfrac{1}{2}g t^2 representam a contribuição da gravidade igual para as duas pedras (ambas têm o mesmo termo em t^2); então o encontro depende apenas dos termos lineares e constantes restantes.

Passo 5

Calcular a altura do encontro substituindo t=1\\ \text{s} em qualquer uma das posições (uso y_B por ser direto):
y(1)=19{,}6\cdot 1 - 4{,}9\cdot 1^2 = 19{,}6 - 4{,}9 = 14{,}7\\ \text{m}.
Portanto a altura do encontro acima do solo é 14{,}7\\ \text{m}.

Passo 6

Checagem e interpretação física curta: o tempo 1\\ \text{s} é razoável — a pedra lançada para cima subiu 19{,}6\\ \text{m} no topo em tempo t_{\text{subida}}=v_0/g=19{,}6/9{,}8=2\\ \text{s}, então o encontro em 1\\ \text{s} acontece na metade do percurso de subida, fazendo sentido. A pedra de cima, largada, já caiu um pouco em 1\\ \text{s}, chegando a 14{,}7\\ \text{m}.

Resposta

Depois de 1\\ \text{s}
14{,}7\\ \text{m} acima do solo

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