Uma pedra é lançada de uma altura de 19,6 m acima do solo enquanto uma segunda pedra é simultaneamente lançada do solo com velocidade suficiente para subir 19,6 m. Quando e onde as pedras se encontrariam?
[R: Se encontrariam depois de 1 s e 14,7 metros acima do solo.]
[R: Se encontrariam depois de 1 s e 14,7 metros acima do solo.]
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que está dito e a hipótese necessária para poder resolver sem mais dados):
- Uma pedra parte de uma altura de
acima do solo no instante . - Simultaneamente, outra pedra é lançada do solo com velocidade inicial suficiente para atingir uma altura máxima de
. - Pede-se saber quando (tempo após o lançamento) e onde (altura acima do solo) as duas pedras se encontrariam.
Hipótese adotada (necessária porque o enunciado não especifica): interpretar que a pedra que parte de
é largada sem velocidade inicial (ou seja, lançada com velocidade inicial
); esta é a interpretação que leva à resposta fornecida. Também adotamos a aceleração da gravidade igual a
e desprezamos resistência do ar.
Passo 2
Determinar a velocidade inicial da pedra lançada do solo (chamarei essa velocidade de
). Para um projétil lançado verticalmente para cima, a relação entre velocidade inicial
, gravidade
e altura máxima
é
Explicando essa fórmula de forma didática: a equação vem da fórmula do movimento uniforme variado em forma energética ou cinemática. Usando a fórmula
com
no ponto mais alto,
e
, obtemos
, ou seja
. Aqui:
-
é a velocidade inicial da pedra lançada para cima (em ); -
é a aceleração da gravidade ( ); -
é a altura máxima alcançada (aqui ).
Agora calculamos:
Observação simpática: neste problema
dá exatamente
, igual numericamente à altura em metros — é coincidência conveniente que facilita as contas.
Passo 3
Escrever as equações horárias (posições) das duas pedras usando a fórmula do movimento com aceleração constante:
onde
-
é a posição vertical no tempo (em metros), -
é a posição inicial (em metros), -
é a velocidade inicial (em ), -
é a aceleração (em ); aqui porque escolhemos o sentido positivo para cima.
Escolhendo a origem
no solo e sentido positivo para cima:
- Para a pedra superior (a que foi largada de
com velocidade inicial nula): , . Assim
Substituindo
obtemos
- Para a pedra que sai do solo para cima:
, . Assim
Passo 4
Determinar o tempo de encontro: as pedras se encontram quando suas alturas são iguais, ou seja quando
. Igualando as expressões:
Repare que os termos
aparecem em ambos os lados; eles se cancelam, o que simplifica muito:
Isolando
:
Explicando a cancelamento: os termos
representam a contribuição da gravidade igual para as duas pedras (ambas têm o mesmo termo em
); então o encontro depende apenas dos termos lineares e constantes restantes.
Passo 5
Calcular a altura do encontro substituindo
em qualquer uma das posições (uso
por ser direto):
Portanto a altura do encontro acima do solo é
.
Passo 6
Checagem e interpretação física curta: o tempo
é razoável — a pedra lançada para cima subiu
no topo em tempo
, então o encontro em
acontece na metade do percurso de subida, fazendo sentido. A pedra de cima, largada, já caiu um pouco em
, chegando a
.
Resposta
Depois de
acima do solo