Uma bola é lançada em um lago a partir de um trampolim a
acima da água. Ela atinge a água com velocidade v e então afunda com velocidade v constante. Ela atinge o fundo do lago
após ser lançada. Encontre
(a) a velocidade média da bola.
(b) a profundidade do lago.
[R: (a)
; (b)
]
(a) a velocidade média da bola.
(b) a profundidade do lago.
[R: (a)
Passo 1
Vou listar bem claro o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dados fornecidos:
- A bola parte de um trampolim a uma altura de
acima da superfície da água. - Ela atinge a água com velocidade
(essa é a velocidade com que entra na água). - Depois de entrar na água, ela afunda com velocidade constante igual a
. - O tempo total entre o lançamento (no trampolim) e o momento em que ela bate no fundo do lago é
.
- A bola parte de um trampolim a uma altura de
- O que é pedido:
- (a) a velocidade média da bola (interpreto como a velocidade média escalar, ou seja, a distância total percorrida dividida pelo tempo total);
- (b) a profundidade do lago (distância da superfície até o fundo).
Observação importante (do enunciado): não foi dada velocidade inicial. Para que o problema tenha solução única e consistente com as respostas indicadas, adota-se a interpretação usual aqui: a bola é solta a partir do trampolim sem velocidade inicial vertical (ou seja, velocidade inicial vertical
). Também usarei a aceleração da gravidade
.
Passo 2
Relembrando as fórmulas de movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA) na queda livre vertical (aqui tomamos sentido para baixo como positivo):
- Deslocamento vertical até a água:
onde é a distância percorrida (aqui ), é a velocidade inicial vertical e é a aceleração (aqui ). - Velocidade final após tempo
: - Outra relação útil (sem tempo):
Para a parte dentro da água (movimento com velocidade constante), a relação entre profundidade
, velocidade
(constante) e tempo submerso
é
A velocidade média escalar ao longo de todo o percurso é
Aqui a distância total é a soma da queda aérea
e da profundidade
.
Passo 3
Calcular o tempo que a bola leva para cair do trampolim até a superfície da água (tempo na parte aérea), denotado por
.
Como assumimos
e
, usamos
Isolando
:
Substituindo
e
:
Passo 4
Calcular a velocidade de impacto com a água
usando
. Com
e
:
Esse é o valor de
com que a bola entra na água e, segundo o enunciado, também a velocidade constante com que ela afunda.
Passo 5
Calcular o tempo que a bola passa submersa,
. O tempo total é
, logo
Agora calcular a profundidade do lago
pela relação
:
Passo 6
Calcular a velocidade média escalar
. A distância total percorrida é
. Então
Substituindo
,
e
:
Passo 7
Pequena checagem rápida e incentivo: os números batem com a ideia física — a queda demora pouco (
), a maior parte do tempo é submersa a velocidade de
, daí a profundidade grande. Bom trabalho — já vê que dá para resolver rápido na prova!
Resposta
(a)
(b)
(b)