Uma bola é lançada em um lago a partir de um trampolim a 4,9 \mathrm{~m} acima da água. Ela atinge a água com velocidade v e então afunda com velocidade v constante. Ela atinge o fundo do lago 5,0 \mathrm{~s} após ser lançada. Encontre
(a) a velocidade média da bola.
(b) a profundidade do lago.
[R: (a) 8,82 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; (b) 39,2 \mathrm{~m} ]

Passo 1

Vou listar bem claro o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • A bola parte de um trampolim a uma altura de h=4{,}9\\ \mathrm{m} acima da superfície da água.
    • Ela atinge a água com velocidade v (essa é a velocidade com que entra na água).
    • Depois de entrar na água, ela afunda com velocidade constante igual a v.
    • O tempo total entre o lançamento (no trampolim) e o momento em que ela bate no fundo do lago é t_{\text{total}}=5{,}0\\ \mathrm{s}.
  • O que é pedido:
    • (a) a velocidade média da bola (interpreto como a velocidade média escalar, ou seja, a distância total percorrida dividida pelo tempo total);
    • (b) a profundidade do lago (distância da superfície até o fundo).
Observação importante (do enunciado): não foi dada velocidade inicial. Para que o problema tenha solução única e consistente com as respostas indicadas, adota-se a interpretação usual aqui: a bola é solta a partir do trampolim sem velocidade inicial vertical (ou seja, velocidade inicial vertical u=0). Também usarei a aceleração da gravidade g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Relembrando as fórmulas de movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA) na queda livre vertical (aqui tomamos sentido para baixo como positivo):
  • Deslocamento vertical até a água: s = u t + \tfrac{1}{2} a t^2,onde s é a distância percorrida (aqui s=h), u é a velocidade inicial vertical e a é a aceleração (aqui a=g).
  • Velocidade final após tempo t: v = u + a t.
  • Outra relação útil (sem tempo): v^2 = u^2 + 2 a s.
Para a parte dentro da água (movimento com velocidade constante), a relação entre profundidade d, velocidade v (constante) e tempo submerso t_2 é
d = v\, t_2.
A velocidade média escalar ao longo de todo o percurso é
\bar{v} = \frac{\text{distância total percorrida}}{\text{tempo total}}.â
Aqui a distância total é a soma da queda aérea h e da profundidade d.

Passo 3

Calcular o tempo que a bola leva para cair do trampolim até a superfície da água (tempo na parte aérea), denotado por t_1.
Como assumimos u=0 e a=g, usamos
h = \tfrac{1}{2} g t_1^2.
Isolando t_1:
t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}.
Substituindo h=4{,}9\\ \mathrm{m} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}:
t_1 = \sqrt{\frac{2\cdot 4{,}9}{9{,}8}} = \sqrt{1} = 1{,}0\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Calcular a velocidade de impacto com a água v usando v = u + g t_1. Com u=0 e t_1=1{,}0\\ \mathrm{s}:
v = 0 + 9{,}8\cdot 1{,}0 = 9{,}8\\ \mathrm{m/s}.
Esse é o valor de v com que a bola entra na água e, segundo o enunciado, também a velocidade constante com que ela afunda.

Passo 5

Calcular o tempo que a bola passa submersa, t_2. O tempo total é t_{\text{total}}=5{,}0\\ \mathrm{s}, logo
t_2 = t_{\text{total}} - t_1 = 5{,}0 - 1{,}0 = 4{,}0\\ \mathrm{s}.
Agora calcular a profundidade do lago d pela relação d = v\, t_2:
d = 9{,}8\cdot 4{,}0 = 39{,}2\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular a velocidade média escalar \bar{v}. A distância total percorrida é h+d. Então
\bar{v} = \frac{h + d}{t_{\text{total}}}.
Substituindo h=4{,}9\\ \mathrm{m}, d=39{,}2\\ \mathrm{m} e t_{\text{total}}=5{,}0\\ \mathrm{s}:
\bar{v} = \frac{4{,}9 + 39{,}2}{5{,}0} = \frac{44{,}1}{5{,}0} = 8{,}82\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Pequena checagem rápida e incentivo: os números batem com a ideia física — a queda demora pouco ( 1\\ \mathrm{s}), a maior parte do tempo é submersa a velocidade de 9{,}8\\ \mathrm{m/s}, daí a profundidade grande. Bom trabalho — já vê que dá para resolver rápido na prova!

Resposta

(a) 8{,}82\\ \mathrm{m/s}
(b) 39{,}2\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados