Uma pedra é lançada por uma catapulta e adquire velocidade inicial de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Se a massa da pedra é de 2,0 \mathrm{~kg}, a) qual a energia cinética da pedra? b) Se o ângulo de lançamento com a horizontal for de 45^{*}, quais os valores das componentes iniciais das velocidades horizontal e vertical? c) Desconsiderando a resistência do ar e efeitos de rotação, considere este sistema como conservativo, ou seja, a energia total do sistema é conservada. No ponto mais alto da trajetória a velocidade da pedra vale somente a componente horizontal da velocidade inicial. A energia mecânica (cinética mais potencial!) deve valer o mesmo valor do item (a) , d) Qual a altura máxima alcançada pela pedra? e) Qual o alcance máximo horizontal da pedra?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e perguntas:
  • Dados: v_0 = 20\\ \mathrm{m/s},\qquad m = 2,0\\ \mathrm{kg},\qquad \theta = 45^\circ.
  • Perguntas:
    (a) Qual a energia cinética inicial da pedra?
    (b) Quais as componentes iniciais das velocidades horizontal e vertical?
    (c) Considerando o sistema conservativo, confirmar que a energia mecânica no ponto mais alto vale o mesmo do item (a).
    (d) Qual a altura máxima alcançada pela pedra?
    (e) Qual o alcance horizontal total da pedra?

Passo 2

(a) Energia cinética inicial — fórmula e significado.
A energia cinética K de um corpo de massa m e velocidade v é dada por
K=\tfrac{1}{2} m v^{2},
onde \tfrac{1}{2} é um fator da definição matemática, m é a massa em \mathrm{kg} e v é a velocidade em \mathrm{m/s}. A unidade resultante é o joule \mathrm{(J)}, que equivale a \mathrm{kg\cdot m^{2}/s^{2}}. Agora substituímos os valores:
K_{0}=\tfrac{1}{2}\cdot 2,0\cdot 20^{2}.
Calcule passo a passo: 20^{2}=400; \tfrac{1}{2}\cdot 2,0 = 1. Portanto
K_{0}=1\cdot 400 = 400\\ \mathrm{J}.

Passo 3

(b) Componentes iniciais da velocidade — como decompor.
Qualquer velocidade lançada com ângulo \theta em relação à horizontal tem componentes
v_{x}=v_{0}\cos\theta,\qquad v_{y}=v_{0}\sin\theta,
onde \cos\theta e \sin\theta são, respectivamente, a razão adjacente/hipotenusa e oposto/hipotenusa no triângulo retângulo formado pela decomposição (uma interpretação geométrica simples). Para \theta=45^\circ vale \cos45^\circ=\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Assim:
v_{x}=20\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s},
v_{y}=20\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}.
Como aproximação decimal, \sqrt{2}\approx 1,4142, então
10\sqrt{2}\approx 14,14\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

(c) Conservação da energia mecânica — enunciado e aplicação.
Se desconsideramos resistência do ar e rotação, energia mecânica (cinética mais potencial) é conservada. Escolhemos o nível de referência da energia potencial gravitacional U na altura de lançamento como U_{0}=0. Então a energia mecânica inicial é apenas a energia cinética que já calculamos:
E_{\text{total}} = K_{0}+U_{0}=400\\ \mathrm{J}.
No ponto mais alto a velocidade vertical é nula, sobrando apenas a componente horizontal v_{x}. A energia cinética no topo é
K_{\text{top}}=\tfrac{1}{2} m v_{x}^{2}.
A energia potencial no topo é U_{\text{top}}=m g h, onde h é a altura máxima e g é a aceleração da gravidade. Pela conservação:
K_{0}=K_{\text{top}}+m g h.
Portanto a energia mecânica no ponto mais alto vale exatamente 400\\ \mathrm{J}, confirmando o enunciado.

Passo 5

(d) Cálculo da altura máxima — uso da conservação ou fórmula cinemática.
Calculamos primeiro K_{\text{top}}. Já sabemos v_{x}=10\sqrt{2}, então
v_{x}^{2}=(10\sqrt{2})^{2}=100\cdot 2 =200.
Logo
K_{\text{top}}=\tfrac{1}{2}\cdot 2,0\cdot 200 = 1\cdot 200 = 200\\ \mathrm{J}.
Da conservação ( K_{0}=K_{\text{top}}+m g h) obtemos
m g h = K_{0}-K_{\text{top}} = 400-200 = 200\\ \mathrm{J}.
Isolando h:
h=\frac{200}{m g}=\frac{200}{2,0\cdot 9,8}.
Calcule o denominador: 2,0\cdot 9,8 = 19,6. Então
h=\frac{200}{19,6}\approx 10,20\\ \mathrm{m}.

Passo 6

(e) Cálculo do alcance horizontal — tempo de voo e produto pela componente horizontal.
A componente vertical inicial é v_{y0}=10\sqrt{2}. O tempo para subir até o ponto mais alto é
t_{\text{subida}}=\frac{v_{y0}}{g}=\frac{10\sqrt{2}}{9,8}.
Pela simetria do movimento (sem resistência do ar), o tempo total de voo é o dobro:
T = 2\,t_{\text{subida}}=\frac{2\cdot 10\sqrt{2}}{9,8}=\frac{20\sqrt{2}}{9,8}.
O alcance horizontal R é a componente horizontal constante multiplicada pelo tempo total:
R=v_{x}T = 10\sqrt{2}\cdot \frac{20\sqrt{2}}{9,8}.
Simplificando \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2:
R=\frac{10\cdot 20\cdot 2}{9,8}=\frac{400}{9,8}.
Numericamente,
R\approx \frac{400}{9,8}\approx 40,82\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) 400\\ \mathrm{J}
(b) v_{x}=10\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}\approx 14,14\\ \mathrm{m/s},\quad v_{y}=10\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}\approx 14,14\\ \mathrm{m/s}
(c) Sim. A energia mecânica é conservada e vale 400\\ \mathrm{J} também no ponto mais alto.
(d) h\approx 10,20\\ \mathrm{m}
(e) R\approx 40,82\\ \mathrm{m}

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