Uma pedra é lançada por uma catapulta e adquire velocidade inicial de
. Se a massa da pedra é de
, a) qual a energia cinética da pedra? b) Se o ângulo de lançamento com a horizontal for de
, quais os valores das componentes iniciais das velocidades horizontal e vertical? c) Desconsiderando a resistência do ar e efeitos de rotação, considere este sistema como conservativo, ou seja, a energia total do sistema é conservada. No ponto mais alto da trajetória a velocidade da pedra vale somente a componente horizontal da velocidade inicial. A energia mecânica (cinética mais potencial!) deve valer o mesmo valor do item (a) , d) Qual a altura máxima alcançada pela pedra? e) Qual o alcance máximo horizontal da pedra?
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e perguntas:
- Dados:
- Perguntas:
(a) Qual a energia cinética inicial da pedra?
(b) Quais as componentes iniciais das velocidades horizontal e vertical?
(c) Considerando o sistema conservativo, confirmar que a energia mecânica no ponto mais alto vale o mesmo do item (a).
(d) Qual a altura máxima alcançada pela pedra?
(e) Qual o alcance horizontal total da pedra?
Passo 2
(a) Energia cinética inicial — fórmula e significado.
A energia cinética de um corpo de massa
e velocidade
é dada por
A energia cinética
onde
é um fator da definição matemática,
é a massa em
e
é a velocidade em
. A unidade resultante é o joule
, que equivale a
. Agora substituímos os valores:
Calcule passo a passo:
;
. Portanto
Passo 3
(b) Componentes iniciais da velocidade — como decompor.
Qualquer velocidade lançada com ângulo em relação à horizontal tem componentes
Qualquer velocidade lançada com ângulo
onde
e
são, respectivamente, a razão adjacente/hipotenusa e oposto/hipotenusa no triângulo retângulo formado pela decomposição (uma interpretação geométrica simples). Para
vale
. Assim:
Como aproximação decimal,
, então
Passo 4
(c) Conservação da energia mecânica — enunciado e aplicação.
Se desconsideramos resistência do ar e rotação, energia mecânica (cinética mais potencial) é conservada. Escolhemos o nível de referência da energia potencial gravitacional na altura de lançamento como
. Então a energia mecânica inicial é apenas a energia cinética que já calculamos:
Se desconsideramos resistência do ar e rotação, energia mecânica (cinética mais potencial) é conservada. Escolhemos o nível de referência da energia potencial gravitacional
No ponto mais alto a velocidade vertical é nula, sobrando apenas a componente horizontal
. A energia cinética no topo é
A energia potencial no topo é
, onde
é a altura máxima e
é a aceleração da gravidade. Pela conservação:
Portanto a energia mecânica no ponto mais alto vale exatamente
, confirmando o enunciado.
Passo 5
(d) Cálculo da altura máxima — uso da conservação ou fórmula cinemática.
Calculamos primeiro . Já sabemos
, então
Calculamos primeiro
Logo
Da conservação (
) obtemos
Isolando
:
Calcule o denominador:
. Então
Passo 6
(e) Cálculo do alcance horizontal — tempo de voo e produto pela componente horizontal.
A componente vertical inicial é . O tempo para subir até o ponto mais alto é
A componente vertical inicial é
Pela simetria do movimento (sem resistência do ar), o tempo total de voo é o dobro:
O alcance horizontal
é a componente horizontal constante multiplicada pelo tempo total:
Simplificando
:
Numericamente,
Resposta
(a)
(b)
(c) Sim. A energia mecânica é conservada e vale também no ponto mais alto.
(d)
(e)
(b)
(c) Sim. A energia mecânica é conservada e vale
(d)
(e)