1 (Rotação - 2,5 pontos) Numa máquina de Atwood, um bloco tem massa 500 g e o outro 400 g . A polia de massa M_{\mathrm{p}}=0,6 \mathrm{~kg} (momento de inércia \frac{1}{2} M R^{2} ), que está montada sobre um suporte horizontal sem atrito, tem um raio de 8 cm . Quando ela é solta, o bloco mais pesado cai 70 cm . A corda não desliza na polia.
a) Qual a velocidade do bloco maior ao atingir o solo?
b) Qual a aceleração do bloco menor?
c) Qual a tensao na corda que suporta o bloco maior?
d) Qual a tensão na corda que suporta o bloco mais leve?

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que é dado):
  • Dois blocos ligados por uma corda passando por uma polia sem deslizamento.
  • Massa do bloco maior: m_1 = 0,5\\ \mathrm{kg}.
  • Massa do bloco menor: m_2 = 0,4\\ \mathrm{kg}.
  • Massa da polia: M_{\mathrm{p}} = 0,6\\ \mathrm{kg}.
  • A polia tem momento de inércia dado por \dfrac{1}{2} M R^2 (logo I = \dfrac{1}{2}M_{\mathrm{p}}R^2).
  • Raio da polia: R = 0,08\\ \mathrm{m}.
  • Os blocos são soltos do repouso e o bloco mais pesado cai uma distância h = 0,70\\ \mathrm{m}.
  • A corda não desliza, ou seja, movimento de translação dos blocos e rotação da polia estão ligados (restrição de não deslizamento).
Perguntas:
a) Qual a velocidade do bloco maior ao atingir o solo?
b) Qual a aceleração do bloco menor?
c) Qual a tensão na corda que suporta o bloco maior?
d) Qual a tensão na corda que suporta o bloco mais leve?

Passo 2

Definições de variáveis e relações fundamentais (explicando a física que vamos usar):
  • Vou chamar de a a aceleração do bloco maior (positiva para baixo). Pelo vínculo da corda, o bloco menor tem aceleração de mesma magnitude a mas para cima.
  • Tensões: T_1 é a tensão no trecho que sustenta o bloco maior; T_2 é a tensão no trecho que sustenta o bloco menor. Como a polia tem inércia, normalmente T_1 \neq T_2.
  • Aceleração angular da polia: \alpha. Como não há deslizamento, a relação entre aceleração linear e angular é
\alpha=\dfrac{a}{R}.
  • Momento de inércia da polia (usando a fórmula dada):
I=\dfrac{1}{2}M_{\mathrm{p}}R^{2}.
Vou calcular I numericamente:
I=\dfrac{1}{2}\cdot 0,6\cdot(0,08)^{2}=\;0,3\cdot 0,0064=0,00192\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
  • Uma quantidade útil aparece depois: \dfrac{I}{R^{2}}=\dfrac{0,00192}{(0,08)^{2}}=\dfrac{0,00192}{0,0064}=0,3\\ \mathrm{kg}.
    Observação: como I=\tfrac{1}{2}M_{\mathrm{p}}R^{2}, tem-se \dfrac{I}{R^{2}}=\tfrac{1}{2}M_{\mathrm{p}}=0,3\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Equações de Newton para cada bloco (tradução das forças para equações):
  • Para o bloco maior ( m_1), escolhendo positivo para baixo:
m_{1}g - T_{1} = m_{1}a.
Explicação: força peso m_1 g para baixo, tensão T_1 para cima; a soma das forças é m_1 a.
  • Para o bloco menor ( m_2), escolhendo positivo para cima (pois ele acelera para cima):
T_{2} - m_{2}g = m_{2}a.
Explicação: tensão T_2 para cima, peso m_2 g para baixo; resultado é m_2 a para cima.
Essas duas equações relacionam T_1, T_2 e a.

Passo 4

Equação de rotação para a polia (torque e aceleração angular):
  • A torque resultante sobre a polia, tomando sentido que corresponde ao movimento (por exemplo torque devido a T_1 no sentido positivo) é
(T_{1}-T_{2})R = I\alpha.
Explicação: o par de forças T_1 e T_2 produz torque (T_1-T_2)R. Pela segunda lei rotacional, torque resultante = I\alpha. Usando \alpha=a/R (não deslizamento),
T_{1}-T_{2}=\dfrac{I}{R^{2}}\,a.

Passo 5

Resolver as equações para achar a (passo a passo algébrico):
  • Somando as equações de Newton para os dois blocos (Passo 3):
(m_{1}g - T_{1}) + (T_{2} - m_{2}g) = m_{1}a + m_{2}a.
Simplificando:
(m_{1}-m_{2})g - (T_{1}-T_{2}) = (m_{1}+m_{2})a.
  • Substituo a expressão de T_{1}-T_{2} obtida no Passo 4:
(m_{1}-m_{2})g - \dfrac{I}{R^{2}}a = (m_{1}+m_{2})a.
  • Isolo a:
(m_{1}-m_{2})g = \left(m_{1}+m_{2}+\dfrac{I}{R^{2}}\right)a,
logo
a=\dfrac{(m_{1}-m_{2})g}{m_{1}+m_{2}+\dfrac{I}{R^{2}}}.
  • Agora substituo os valores numéricos. Primeiro o numerador:
(m_{1}-m_{2})g=(0,5-0,4)\cdot 9,8=0,1\cdot 9,8=0,98\\ \mathrm{(N)}.
  • Denominador:
m_{1}+m_{2}+\dfrac{I}{R^{2}}=0,5+0,4+0,3=1,2\\ \mathrm{kg}.
  • Assim
a=\dfrac{0,98}{1,2}=0,8166\overline{6}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx 0,817\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Interpretação: como m_1>m_2 escolhemos a positiva para baixo para m_1; portanto o bloco menor acelera para cima com magnitude 0,817\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Velocidade do bloco maior após cair h=0,70\\ \mathrm{m} (cinemática):
  • Usamos a fórmula de movimento com aceleração constante (explicando a fórmula): para posição com aceleração constante,
v^{2}=v_{0}^{2}+2 a h,
onde v_0 é velocidade inicial (aqui zero), a é aceleração (aqui 0,8166\overline{6}\\ \mathrm{m/s^{2}}) e h é o deslocamento (aqui 0,70\\ \mathrm{m}).
  • Substituindo:
v^{2}=0+2\cdot 0,8166\overline{6}\cdot 0,70=1,1433333\ldots
v=\sqrt{1,1433333\ldots}=1,0693\ldots\\ \mathrm{m/s}\approx 1,07\\ \mathrm{m/s}.
Portanto a velocidade do bloco maior ao atingir o solo é aproximadamente 1,07\\ \mathrm{m/s} para baixo.

Passo 7

Calcular as tensões T_{1} e T_{2} (usando as equações do Passo 3):
  • De m_{1}g - T_{1} = m_{1}a temos
T_{1}=m_{1}g - m_{1}a = m_{1}(g-a).
Substituindo valores:
T_{1}=0,5\cdot(9,8-0,8166\overline{6})=0,5\cdot 8,9833\overline{3}=4,491666\ldots\\ \mathrm{N}\approx 4,49\\ \mathrm{N}.
  • De T_{2} - m_{2}g = m_{2}a temos
T_{2}=m_{2}g + m_{2}a = m_{2}(g+a).
Substituindo valores:
T_{2}=0,4\cdot(9,8+0,8166\overline{6})=0,4\cdot 10,6166\overline{6}=4,246666\ldots\\ \mathrm{N}\approx 4,25\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Verificação rápida (sanity check) — checar consistência com a equação de torques:
  • Calcule T_{1}-T_{2}:
T_{1}-T_{2}\approx 4,491666\ldots-4,246666\ldots=0,245\\ \mathrm{N}.
  • Calcule \dfrac{I}{R^{2}}a:
\dfrac{I}{R^{2}}a=0,3\cdot 0,8166\overline{6}=0,245\\ \mathrm{N},
casando exatamente (dentro de arredondamento) com T_{1}-T_{2}. Então a solução é consistente.

Resposta

(a) v\approx 1,07\\ \mathrm{m/s} (velocidade do bloco maior ao atingir o solo, para baixo)
(b) a\approx 0,817\\ \mathrm{m/s^{2}} (aceleração do bloco menor, para cima)
(c) T_{1}\approx 4,49\\ \mathrm{N} (tensão no trecho que sustenta o bloco maior)
(d) T_{2}\approx 4,25\\ \mathrm{N} (tensão no trecho que sustenta o bloco menor)

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