1 (Rotação - 2,5 pontos) Numa máquina de Atwood, um bloco tem massa 500 g e o outro 400 g . A polia de massa
(momento de inércia
), que está montada sobre um suporte horizontal sem atrito, tem um raio de 8 cm . Quando ela é solta, o bloco mais pesado cai 70 cm . A corda não desliza na polia.
a) Qual a velocidade do bloco maior ao atingir o solo?
b) Qual a aceleração do bloco menor?
c) Qual a tensao na corda que suporta o bloco maior?
d) Qual a tensão na corda que suporta o bloco mais leve?
a) Qual a velocidade do bloco maior ao atingir o solo?
b) Qual a aceleração do bloco menor?
c) Qual a tensao na corda que suporta o bloco maior?
d) Qual a tensão na corda que suporta o bloco mais leve?
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que é dado):
- Dois blocos ligados por uma corda passando por uma polia sem deslizamento.
- Massa do bloco maior:
. - Massa do bloco menor:
. - Massa da polia:
. - A polia tem momento de inércia dado por
(logo ). - Raio da polia:
. - Os blocos são soltos do repouso e o bloco mais pesado cai uma distância
. - A corda não desliza, ou seja, movimento de translação dos blocos e rotação da polia estão ligados (restrição de não deslizamento).
Perguntas:
a) Qual a velocidade do bloco maior ao atingir o solo?
b) Qual a aceleração do bloco menor?
c) Qual a tensão na corda que suporta o bloco maior?
d) Qual a tensão na corda que suporta o bloco mais leve?
a) Qual a velocidade do bloco maior ao atingir o solo?
b) Qual a aceleração do bloco menor?
c) Qual a tensão na corda que suporta o bloco maior?
d) Qual a tensão na corda que suporta o bloco mais leve?
Passo 2
Definições de variáveis e relações fundamentais (explicando a física que vamos usar):
- Vou chamar de
a aceleração do bloco maior (positiva para baixo). Pelo vínculo da corda, o bloco menor tem aceleração de mesma magnitude mas para cima. - Tensões:
é a tensão no trecho que sustenta o bloco maior; é a tensão no trecho que sustenta o bloco menor. Como a polia tem inércia, normalmente . - Aceleração angular da polia:
. Como não há deslizamento, a relação entre aceleração linear e angular é
- Momento de inércia da polia (usando a fórmula dada):
Vou calcular
numericamente:
- Uma quantidade útil aparece depois:
Observação: como, tem-se .
Passo 3
Equações de Newton para cada bloco (tradução das forças para equações):
- Para o bloco maior (
), escolhendo positivo para baixo:
Explicação: força peso
para baixo, tensão
para cima; a soma das forças é
.
- Para o bloco menor (
), escolhendo positivo para cima (pois ele acelera para cima):
Explicação: tensão
para cima, peso
para baixo; resultado é
para cima.
Essas duas equações relacionam
,
e
.
Passo 4
Equação de rotação para a polia (torque e aceleração angular):
- A torque resultante sobre a polia, tomando sentido que corresponde ao movimento (por exemplo torque devido a
no sentido positivo) é
Explicação: o par de forças
e
produz torque
. Pela segunda lei rotacional, torque resultante =
. Usando
(não deslizamento),
Passo 5
Resolver as equações para achar
(passo a passo algébrico):
- Somando as equações de Newton para os dois blocos (Passo 3):
Simplificando:
- Substituo a expressão de
obtida no Passo 4:
- Isolo
:
logo
- Agora substituo os valores numéricos. Primeiro o numerador:
- Denominador:
- Assim
Interpretação: como
escolhemos
positiva para baixo para
; portanto o bloco menor acelera para cima com magnitude
.
Passo 6
Velocidade do bloco maior após cair
(cinemática):
- Usamos a fórmula de movimento com aceleração constante (explicando a fórmula): para posição com aceleração constante,
onde
é velocidade inicial (aqui zero),
é aceleração (aqui
) e
é o deslocamento (aqui
).
- Substituindo:
Portanto a velocidade do bloco maior ao atingir o solo é aproximadamente
para baixo.
Passo 7
Calcular as tensões
e
(usando as equações do Passo 3):
- De
temos
Substituindo valores:
- De
temos
Substituindo valores:
Passo 8
Verificação rápida (sanity check) — checar consistência com a equação de torques:
- Calcule
:
- Calcule
:
casando exatamente (dentro de arredondamento) com
. Então a solução é consistente.
Resposta
(a)
(velocidade do bloco maior ao atingir o solo, para baixo)
(b) (aceleração do bloco menor, para cima)
(c) (tensão no trecho que sustenta o bloco maior)
(d) (tensão no trecho que sustenta o bloco menor)
(b)
(c)
(d)