Durante uma atividade de mapeamento em um desfiladeiro, geólogos observam o deslocamento de um bloco rochoso que se desprende de uma encosta inclinada. O bloco parte do repouso em um ponto de coordenadas
e desliza por uma encosta retilínea que faz um ângulo de
com a horizontal. A aceleração resultante sobre o bloco, devido à gravidade e ao atrito, é constante e igual a
ao longo da inclinação. Considere que: o eixo x é horizontal e o eixo y é vertical (positivo para cima), o movimento é retilíneo inclinado, o tempo é contado a partir do instante do desprendimento (
).
a) Determine as componentes da posição vetorial
do bloco em função do tempo.
(Resp.:
e
)
b) Encontre o vetor velocidade instantânea
e calcule seu módulo após
. (Resp.:
c) Determine a distância percorrida pelo bloco após 5 s . (Resp.: 25 m )
a) Determine as componentes da posição vetorial
(Resp.:
b) Encontre o vetor velocidade instantânea
c) Determine a distância percorrida pelo bloco após 5 s . (Resp.: 25 m )
Passo 1
O enunciado dá um bloco que parte do repouso em
e desliza por uma encosta retilínea com inclinação de
acima da horizontal (isto é, a inclinação faz
com a horizontal). O tempo é contado desde o desprendimento,
. A aceleração resultante ao longo da inclinação é constante em módulo e vale
, dirigida para baixo ao longo da rampa. O sistema de eixos é:
horizontal (positivo para a direita) e
vertical (positivo para cima).
Perguntas:
a) Determinar as componentes da posição vetorial , ou seja
e
.
b) Encontrar o vetor velocidade instantânea e calcular seu módulo em
.
c) Determinar a distância percorrida pelo bloco após .
a) Determinar as componentes da posição vetorial
b) Encontrar o vetor velocidade instantânea
c) Determinar a distância percorrida pelo bloco após
Dados relevantes (resumindo):
Passo 2
Fórmulas que vamos usar (movimento com aceleração constante, em vetor):
Explicando cada símbolo:
-
é a posição vetorial no instante . -
é a posição inicial (aqui ). -
é a velocidade vetorial no instante . -
é a velocidade inicial (aqui porque parte do repouso). -
é a aceleração vetorial constante (temos módulo e direção ao longo da rampa). - As fórmulas dizem que a posição e velocidade crescem com termos lineares e quadráticos em
quando é constante.
Passo 3
Vamos decompor a aceleração no sistema
. A direção do movimento é ao longo da rampa, para baixo, fazendo ângulo
com a horizontal. Logo o versor na direção do movimento (para baixo ao longo da rampa) é
Aqui o sinal negativo em
aparece porque “para baixo” significa componente vertical negativa. Usamos as razões trigonométricas conhecidas:
Passo 4
A aceleração vetorial é
. Então as componentes são:
Em valores numéricos aproximados (usar vírgula para decimais):
Explicando:
é a aceleração horizontal para a direita e
é a aceleração vertical para baixo (portanto negativa).
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da posição componente a componente, lembrando que
e
:
Apresentando aproximações com duas casas decimais (conforme o enunciado):
Comentário prático: a forma exata
é útil se quiser precisão simbólica; a forma numérica
é o que normalmente se usa em prova quando pedem aproximação.
Passo 6
Velocidade vetorial em função do tempo (como
):
Substituindo as componentes:
No instante
:
Portanto
Passo 7
Cálculo do módulo da velocidade em
. Usamos o Teorema de Pitágoras para o vetor velocidade:
Comentário didático: é mais elegante perceber que
é exato, então o quadrado dá exatamente
, evitando erros de arredondamento.
Passo 8
Distância percorrida após
. Como o movimento é retilíneo ao longo da rampa e a aceleração ao longo da rampa tem módulo
, podemos usar a equação escalar do deslocamento ao longo da reta do movimento (parte do repouso):
Para
e
:
Verificação alternativa (opcional): a magnitude da posição vetorial
é igual ao deslocamento porque o movimento é retilíneo, e ao calcular
usando
e
obtém-se também
(diferenças numéricas pequenas aparecem apenas por arredondamento).