Durante uma atividade de mapeamento em um desfiladeiro, geólogos observam o deslocamento de um bloco rochoso que se desprende de uma encosta inclinada. O bloco parte do repouso em um ponto de coordenadas \left(x_{0}, y_{0}\right)=(0,0) e desliza por uma encosta retilínea que faz um ângulo de 30^{\circ} com a horizontal. A aceleração resultante sobre o bloco, devido à gravidade e ao atrito, é constante e igual a a=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ao longo da inclinação. Considere que: o eixo x é horizontal e o eixo y é vertical (positivo para cima), o movimento é retilíneo inclinado, o tempo é contado a partir do instante do desprendimento ( t_{0}=0 ).
a) Determine as componentes da posição vetorial \vec{r}(t) do bloco em função do tempo.
(Resp.: x=0,87 t^{2} m e y=-0,50,87 t^{2} )
b) Encontre o vetor velocidade instantânea \vec{v}(t) e calcule seu módulo após t=5,0 \mathrm{~s}. (Resp.: \vec{v}(5)=(8,66 \hat{\imath}-5,00 \hat{\jmath}) \mathrm{m} / \mathrm{s},|\vec{v}(5)|=10,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s})
c) Determine a distância percorrida pelo bloco após 5 s . (Resp.: 25 m )

Passo 1

O enunciado dá um bloco que parte do repouso em \left(x_{0},y_{0}\right)=(0,0) e desliza por uma encosta retilínea com inclinação de 30^\circ acima da horizontal (isto é, a inclinação faz 30^\circ com a horizontal). O tempo é contado desde o desprendimento, t_{0}=0. A aceleração resultante ao longo da inclinação é constante em módulo e vale a=2\\ \mathrm{m/s^{2}}, dirigida para baixo ao longo da rampa. O sistema de eixos é: x horizontal (positivo para a direita) e y vertical (positivo para cima).
Perguntas:
a) Determinar as componentes da posição vetorial \vec{r}(t), ou seja x(t) e y(t).
b) Encontrar o vetor velocidade instantânea \vec{v}(t) e calcular seu módulo em t=5{,}0\\ \mathrm{s}.
c) Determinar a distância percorrida pelo bloco após 5{,}0\\ \mathrm{s}.
Dados relevantes (resumindo):
\vec{r}_{0}=(0,0),\quad \vec{v}_{0}=(0,0),\quad a=2\\ \mathrm{m/s^{2}},\quad \theta=30^\circ.

Passo 2

Fórmulas que vamos usar (movimento com aceleração constante, em vetor):
\vec{r}(t)=\vec{r}_{0}+\vec{v}_{0}t+\tfrac{1}{2}\vec{a}\,t^{2},
\vec{v}(t)=\vec{v}_{0}+\vec{a}\,t.
Explicando cada símbolo:
  • \vec{r}(t) é a posição vetorial no instante t.
  • \vec{r}_{0} é a posição inicial (aqui (0,0)).
  • \vec{v}(t) é a velocidade vetorial no instante t.
  • \vec{v}_{0} é a velocidade inicial (aqui (0,0) porque parte do repouso).
  • \vec{a} é a aceleração vetorial constante (temos módulo a=2\\ \mathrm{m/s^{2}} e direção ao longo da rampa).
  • As fórmulas dizem que a posição e velocidade crescem com termos lineares e quadráticos em t quando \vec{a} é constante.

Passo 3

Vamos decompor a aceleração no sistema (\hat{\imath},\hat{\jmath}). A direção do movimento é ao longo da rampa, para baixo, fazendo ângulo \theta=30^\circ com a horizontal. Logo o versor na direção do movimento (para baixo ao longo da rampa) é
\hat{u}=(\cos 30^\circ)\,\hat{\imath}-(\sin 30^\circ)\,\hat{\jmath}.
Aqui o sinal negativo em \hat{\jmath} aparece porque “para baixo” significa componente vertical negativa. Usamos as razões trigonométricas conhecidas:
\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin 30^\circ=\frac{1}{2}.

Passo 4

A aceleração vetorial é \vec{a}=a\,\hat{u}. Então as componentes são:
a_{x}=a\cos 30^\circ=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},
a_{y}=-a\sin 30^\circ=-2\cdot\frac{1}{2}=-1.
Em valores numéricos aproximados (usar vírgula para decimais):
a_{x}=\sqrt{3}\approx 1,732\\ \mathrm{m/s^{2}},\qquad a_{y}=-1{,}000\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Explicando: a_{x} é a aceleração horizontal para a direita e a_{y} é a aceleração vertical para baixo (portanto negativa).

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da posição componente a componente, lembrando que \vec{v}_{0}=(0,0) e \vec{r}_{0}=(0,0):
x(t)=x_{0}+v_{0x}t+\tfrac{1}{2}a_{x}t^{2}=\tfrac{1}{2}\,a_{x}\,t^{2}=\tfrac{1}{2}\,\sqrt{3}\,t^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,t^{2}.
y(t)=y_{0}+v_{0y}t+\tfrac{1}{2}a_{y}t^{2}=\tfrac{1}{2}\,a_{y}\,t^{2}=\tfrac{1}{2}(-1)\,t^{2}=-\tfrac{1}{2}\,t^{2}.
Apresentando aproximações com duas casas decimais (conforme o enunciado):
x(t)\approx 0,87\,t^{2}\\ \mathrm{m}, \qquad y(t)\approx -0,50\,t^{2}\\ \mathrm{m}.
Comentário prático: a forma exata \dfrac{\sqrt{3}}{2}t^{2} é útil se quiser precisão simbólica; a forma numérica 0,87t^{2} é o que normalmente se usa em prova quando pedem aproximação.

Passo 6

Velocidade vetorial em função do tempo (como \vec{v}_{0}=(0,0)):
\vec{v}(t)=\vec{a}\,t = a_{x}t\,\hat{\imath}+a_{y}t\,\hat{\jmath}.
Substituindo as componentes:
v_{x}(t)=\sqrt{3}\,t\approx 1{,}732\,t, \qquad v_{y}(t)=-1\,t=-t.
No instante t=5{,}0\\ \mathrm{s}:
v_{x}(5)=\sqrt{3}\cdot 5=5\sqrt{3}\approx 8{,}66\\ \mathrm{m/s}, \qquad v_{y}(5)=-5{,}00\\ \mathrm{m/s}.
Portanto
\vec{v}(5)=(8{,}66\,\hat{\imath}-5{,}00\,\hat{\jmath})\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Cálculo do módulo da velocidade em t=5{,}0\\ \mathrm{s}. Usamos o Teorema de Pitágoras para o vetor velocidade:
|\vec{v}(5)|=\sqrt{v_{x}(5)^{2}+v_{y}(5)^{2}}=\sqrt{(5\sqrt{3})^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{75+25}=\sqrt{100}=10{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático: é mais elegante perceber que 5\sqrt{3} é exato, então o quadrado dá exatamente 75, evitando erros de arredondamento.

Passo 8

Distância percorrida após 5{,}0\\ \mathrm{s}. Como o movimento é retilíneo ao longo da rampa e a aceleração ao longo da rampa tem módulo a=2\\ \mathrm{m/s^{2}}, podemos usar a equação escalar do deslocamento ao longo da reta do movimento (parte do repouso):
s(t)=s_{0}+v_{0}t+\tfrac{1}{2}a\,t^{2}=\tfrac{1}{2}a\,t^{2}.
Para t=5{,}0\\ \mathrm{s} e a=2\\ \mathrm{m/s^{2}}:
s(5)=\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 5^{2}=1\cdot 25=25\\ \mathrm{m}.
Verificação alternativa (opcional): a magnitude da posição vetorial |\vec{r}(5)| é igual ao deslocamento porque o movimento é retilíneo, e ao calcular |\vec{r}(5)| usando x(5) e y(5) obtém-se também 25\\ \mathrm{m} (diferenças numéricas pequenas aparecem apenas por arredondamento).

Resposta

x=0,87\,t^{2}\\ \mathrm{m} e y=-0,50\,t^{2}\\ \mathrm{m}
\vec{v}(5)=(8,66\,\hat{\imath}-5,00\,\hat{\jmath})\\ \mathrm{m/s},\;|\vec{v}(5)|=10{,}0\\ \mathrm{m/s}
25\\ \mathrm{m}

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