5- Uma pedra é lançada com velocidade inicial de 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Sabendo-se que ela ficou 4 s no ar, Calcule:
a) o ângulo de lançamento (com a horizontal)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Velocidade inicial: v_0=40\\ \mathrm{m/s}.
  • Tempo total de voo (tempo que a pedra ficou no ar): T=4\\ \mathrm{s}.
    O que a questão pede:
  • Calcular o ângulo de lançamento com a horizontal (ou seja, encontrar \theta).
Vou assumir a aceleração da gravidade igual a \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}\, (se o professor pedir, dá para usar \,g=10\\ \mathrm{m/s^2}\, como aproximação; farei um cheque rápido ao final).

Passo 2

Ideia física e decomposição da velocidade (a parte teórica que precisa entender):
  • Ao lançar um projétil sobre um plano horizontal sem resistência do ar, é útil decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical.
  • Componentes da velocidade inicial: v_{0x}=v_0\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_0\sin\theta.Aqui v_{0x} é a componente horizontal (constante durante o voo) e v_{0y} é a componente vertical inicial (sofre aceleração -g).
  • Equação do movimento vertical (velocidade vertical no instante t): v_y(t)=v_{0y}-g t.
  • Em um lançamento e retorno ao mesmo nível vertical de partida (chão ao chão, supondo esse caso), a trajetória é simétrica: o tempo de subida até o ponto mais alto é igual ao tempo de descida. O tempo para subir até v_y=0 é t_{\text{subida}}=\frac{v_{0y}}{g}.Portanto o tempo total de voo é duas vezes esse tempo: T=2\,t_{\text{subida}}=2\frac{v_{0y}}{g}.

Passo 3

Relacionar o tempo total dado com o ângulo:
  • Substituindo v_{0y}=v_0\sin\theta em T=2v_{0y}/g obtém-se a fórmula que liga T e \theta: T=\frac{2 v_0 \sin\theta}{g}.
  • Isolando \sin\theta: \sin\theta=\frac{gT}{2v_0}.

Passo 4

Aplicar os valores numéricos passo a passo:
  • Calcular o numerador: gT=9{,}8\cdot 4=39{,}2.
  • Calcular o denominador: 2v_0=2\cdot 40=80.
  • Dividir: \sin\theta=\frac{39{,}2}{80}=0{,}49.

Passo 5

Encontrar \theta a partir do seno e interpretar:
  • \theta=\arcsin(0{,}49). O arco-seno de 0{,}49 em graus é aproximadamente \theta\approx 29{,}4^\circ.
  • Checagem rápida com g=10\\ \mathrm{m/s^2} (aproximação comum): \sin\theta=\dfrac{10\cdot 4}{80}=0{,}5 que dá \theta=30^\circ. Resultado muito próximo, portanto consistente.

Passo 6

Interpretação final curta e incentivo:
  • O ângulo encontrado é agudo, cerca de 29^\circ. Está tudo certo — se bater ansiedade na prova, lembra: com o tempo total de voo dá para achar diretamente \sin\theta pela fórmula T=2v_0\sin\theta/g. Tu já tem uma ferramenta rápida no bolso. Vai firme!

Resposta

\theta \approx 29{,}4^\circ

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