5- Uma pedra é lançada com velocidade inicial de 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Sabendo-se que ela ficou 4 s no ar, Calcule:
c) o alcance

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar só o que interessa para resolver):
  • Velocidade inicial: v_0=40\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Tempo total no ar (tempo de voo): T=4\\ \mathrm{s}.
    O que a questão pede: calcular o alcance horizontal (o alcance) — isto é, a distância horizontal total percorrida até a pedra voltar ao mesmo nível de lançamento.

Passo 2

Relembre as decomposições e variáveis importantes (isto é fundamental para resolver sem erro):
  • Dividimos a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical: v_{0x}=v_0\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_0\sin\theta,onde \theta é o ângulo de lançamento medido a partir da horizontal.
  • A aceleração vertical é -g (para baixo). Vou usar o valor padrão g=9{,}8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
  • O alcance horizontal R é dado por velocidade horizontal constante vezes o tempo total de voo: R=v_{0x}\,T=v_0\cos\theta\;T.

Passo 3

Relacionando o tempo de voo com a componente vertical:
a posição vertical é y(t)=v_{0y}t-\dfrac{1}{2}gt^2. Se o ponto de chegada está no mesmo nível do lançamento, além de t=0 existe a outra raiz
T=\frac{2v_{0y}}{g}=\frac{2v_0\sin\theta}{g}.
Dessa equação isolamos \sin\theta:
\sin\theta=\frac{gT}{2v_0}.

Passo 4

Calcule numericamente \sin\theta com os números dados (peguei v_0 e T do enunciado e usei g=9{,}8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2):
\sin\theta=\frac{9{,}8\cdot 4}{2\cdot 40}=\frac{39{,}2}{80}=0{,}49.

Passo 5

Para obter \cos\theta usamos a identidade trigonométrica \cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}. Explico rápido: para um ângulo entre 0 e \tfrac{\pi}{2} (lançamento para cima), \cos\theta é positivo, então tomamos a raiz positiva. Então
\cos\theta=\sqrt{1-(0{,}49)^2}=\sqrt{1-0{,}2401}=\sqrt{0{,}7599}\approx 0{,}87199.

Passo 6

Agora usamos a fórmula do alcance R=v_0\cos\theta\;T. Substituindo os valores:
R=40\cdot 0{,}87199\cdot 4.
Faço a conta em duas etapas para você poder reproduzir facilmente na prova: primeiro 40\cdot 0{,}87199\approx 34{,}8796 e depois multiplicando pelo tempo T:
R\approx 34{,}8796\cdot 4\approx 139{,}5184\\ \mathrm{m}.
Arredondando com senso prático (duas casas decimais ou para unidade), obtemos aproximadamente 139{,}52\\ \mathrm{m} ou, se preferir arredondar, 140\\ \mathrm{m}.
Observação útil para a prova: existe uma fórmula direta que dispensa encontrar \theta explicitamente. Unindo os passos acima fica
R=v_0T\sqrt{1-\left(\frac{gT}{2v_0}\right)^{\!2}},
que permite calcular R diretamente a partir de v_0, T e g.

Resposta

139{,}52\\ \mathrm{m}

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