02- Um pequeno corpo é lançado da origem com velocidade \mathrm{v}_{0}=100 / \mathrm{m} / \mathrm{s} formando um ângulo \theta=60^{\circ} com a horizontal. Sendo \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Determine:
b) o alcance

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi fornecido):
  • Velocidade inicial: v_0 = 100\\ \mathrm{m/s}.
  • Ângulo com a horizontal: \theta = 60^\circ.
  • Aceleração da gravidade: g = 10\\ \mathrm{m/s^2}.
O que o enunciado pede:
  • (b) Determinar o alcance do projétil (distância horizontal total percorrida até voltar ao solo).

Passo 2

Entender a decomposição da velocidade inicial (isso é essencial para resolver qualquer lance oblíquo). A velocidade inicial v_0 pode ser decomposta em componentes horizontal e vertical:
  • Componente horizontal: v_{0x} = v_0\cos\theta.
  • Componente vertical: v_{0y} = v_0\sin\theta.
Explicando por que isso funciona, de forma simples: a velocidade forma um triângulo retângulo cujo cateto horizontal é v_0\cos\theta e cateto vertical é v_0\sin\theta; \cos\theta e \sin\theta dão as “frações” da velocidade total nas direções horizontal e vertical, respectivamente.
Vamos calcular esses valores usando \theta=60^\circ, \cos60^\circ=\tfrac{1}{2} e \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}:
v_{0x} = v_0\cos\theta = 100\cdot\frac{1}{2} = 50\\ \mathrm{m/s},
v_{0y} = v_0\sin\theta = 100\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}\approx86{,}60\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora vamos achar o tempo total de voo T. A posição vertical y(t) (tomando y=0 na origem e desprezando resistência do ar) é dada por:
y(t)=v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2.
O projétil volta ao solo quando y(t)=0. Isso dá a equação
v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2=0.
Fatorando t:
t\left(v_{0y}-\frac{1}{2}gt\right)=0.
As soluções são t=0 (lançamento) e
t=\frac{2v_{0y}}{g},
que é o tempo total de voo T. Ou seja,
T=\frac{2v_0\sin\theta}{g}.

Passo 4

Substituir os valores para computar T. Usando v_{0y}=50\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s} e g=10\\ \mathrm{m/s^2}:
T=\frac{2\cdot 50\sqrt{3}}{10}=\frac{100\sqrt{3}}{10}=10\sqrt{3}\\ \mathrm{s}\approx17{,}32\\ \mathrm{s}.

Passo 5

O alcance R é a distância horizontal percorrida em todo o voo. Como não há aceleração horizontal (desprezando resistência do ar), a velocidade horizontal é constante v_{0x}. Assim:
R=v_{0x}\,T.
Substituindo v_{0x}=v_0\cos\theta e T=\dfrac{2v_0\sin\theta}{g} obtemos a fórmula clássica:
R=\frac{v_0^2\cdot 2\sin\theta\cos\theta}{g}=\frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g},
onde usei a identidade trigonométrica \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta.

Passo 6

Agora calculamos numericamente R com os valores dados. Usando \sin(2\theta)=\sin(120^\circ)=\sin(60^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}:
R=\frac{(100)^2\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{10}=\frac{10000\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{10}=\frac{5000\sqrt{3}}{10}=500\sqrt{3}\\ \mathrm{m}.
Valor aproximado:
500\sqrt{3}\\ \mathrm{m}\approx866{,}03\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Resumo prático para a prova (guarda-roupa mental): para alcance em lançamento e retorno ao mesmo nível use sempre
R=\frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g},
e, se precisar, decompõe v_0 nas componentes para achar o tempo de voo e depois R=v_{0x}T. Você consegue usar isso rápido na prova — respira, já está quase lá!

Resposta

R=500\sqrt{3}\\ \mathrm{m}\approx866{,}0\\ \mathrm{m}

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