02- Um pequeno corpo é lançado da origem com velocidade
formando um ângulo
com a horizontal. Sendo
. Determine:
b) o alcance
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi fornecido):
- Velocidade inicial:
. - Ângulo com a horizontal:
. - Aceleração da gravidade:
.
O que o enunciado pede:
- (b) Determinar o alcance do projétil (distância horizontal total percorrida até voltar ao solo).
Passo 2
Entender a decomposição da velocidade inicial (isso é essencial para resolver qualquer lance oblíquo). A velocidade inicial
pode ser decomposta em componentes horizontal e vertical:
- Componente horizontal:
. - Componente vertical:
.
Explicando por que isso funciona, de forma simples: a velocidade forma um triângulo retângulo cujo cateto horizontal é
e cateto vertical é
;
e
dão as “frações” da velocidade total nas direções horizontal e vertical, respectivamente.
Vamos calcular esses valores usando
,
e
:
Passo 3
Agora vamos achar o tempo total de voo
. A posição vertical
(tomando
na origem e desprezando resistência do ar) é dada por:
O projétil volta ao solo quando
. Isso dá a equação
Fatorando
:
As soluções são
(lançamento) e
que é o tempo total de voo
. Ou seja,
Passo 4
Substituir os valores para computar
. Usando
e
:
Passo 5
O alcance
é a distância horizontal percorrida em todo o voo. Como não há aceleração horizontal (desprezando resistência do ar), a velocidade horizontal é constante
. Assim:
Substituindo
e
obtemos a fórmula clássica:
onde usei a identidade trigonométrica
.
Passo 6
Agora calculamos numericamente
com os valores dados. Usando
:
Valor aproximado:
Passo 7
Resumo prático para a prova (guarda-roupa mental): para alcance em lançamento e retorno ao mesmo nível use sempre
e, se precisar, decompõe
nas componentes para achar o tempo de voo e depois
. Você consegue usar isso rápido na prova — respira, já está quase lá!