Um recipiente isolado é dividido em duas partes. A regiño A, com volume
, contém um gís ideal a uma temperatura
. Na regiño B, com volume
, fazse vácuo. Ao abrir um pequeno orifício entre as regiões, o gás da regiāo A começa a ocupar a regiāo B. Consideràndo que nāo há troca de calor entre o gás e o recipiente, e que não se faz trabalho pôr sobre o gás ao abrir a válvula, a temperatura de equilíbrio do sistema é
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Temos um recipiente isolado termicamente dividido em duas regiões: A e B.
- A região A tem volume
e contém um gás ideal à temperatura . - A região B tem volume
e está inicialmente em vácuo. - Abre-se um orifício entre A e B; o gás de A expande-se para ocupar a totalidade do volume (
). - O recipiente é termicamente isolado (não há troca de calor com o exterior).
- Ao abrir a válvula não se faz trabalho sobre o gás (expansão para o vácuo).
- Pergunta: qual é a temperatura de equilíbrio final do sistema?
Lista das informações relevantes:
-
dado, . - Temperatura inicial do gás:
. - Sistema isolado:
(nenhum calor trocado). - Não há trabalho realizado sobre o gás:
. - Gás ideal (modelo ideal).
Passo 2
Entender o princípio físico que vamos usar: a primeira lei da termodinâmica, que relaciona variação da energia interna, calor trocado e trabalho realizado. Escrevemos essa lei como:
Aqui:
-
é a variação da energia interna do gás entre o estado final e o inicial, -
é o calor recebido pelo gás (positivo se entra calor), -
é o trabalho realizado pelo gás sobre o ambiente (positivo quando gás realiza trabalho).
No nosso problema sabemos que o recipiente é isolado (
) e que não se faz trabalho sobre o gás ao abrir a válvula (expansão livre para o vácuo), portanto
. Assim a equação fica simplesmente:
Passo 3
Explicar o que é energia interna para um gás ideal e como ela depende da temperatura. Para um gás ideal (classicamente), a energia interna total depende apenas da temperatura e do número de mols
. Escrevemos:
onde:
-
é a energia interna, -
é o número de mols do gás (constante aqui, não há troca de partículas), -
é a capacidade térmica molar a volume constante (uma constante que depende do tipo de gás; por exemplo, para um gás monoatômico , mas o valor numérico não é necessário aqui), -
é a temperatura absoluta do gás.
Portanto, a variação de energia interna entre estado final e inicial é
onde
é a temperatura final de equilíbrio que queremos achar.
Passo 4
Combinar o resultado de
Como
e
são positivos e não nulos, a única solução é
Passo 5
Dar intuição alternativa (cinética): em um gás ideal a temperatura é proporcional à energia cinética média das moléculas. A expansão livre para o vácuo não realiza colisões macroscópicas que troquem energia com paredes que façam trabalho nem troca de calor com o ambiente; as moléculas simplesmente ocupam um volume maior, mas sua distribuição de velocidades (e assim a energia cinética média) permanece, portanto a temperatura, que mede essa energia média, não muda. Isso confirma o resultado anterior de forma física e intuitiva.
Passo 6
Observações importantes para a prova (coisas que costumam cair e você pode escrever rapidamente):
- Sempre verifique se o gás é ideal: só assim podemos afirmar
depende apenas de . - Verifique se há troca de calor (
) ou trabalho . Aqui ambos são nulos. - Mesmo sendo um processo irreversível (expansão livre), a primeira lei vale e garante conservação da energia interna.
- O aumento do volume não implica, por si só, variação de temperatura para gás ideal em expansão livre.
Passo 7
Conclusão direta: a temperatura de equilíbrio do gás após abrir o orifício, nas condições dadas, é igual à temperatura inicial
. Em termos da alternativa do enunciado, corresponde à letra (c).
Resposta
(c)