Um recipiente isolado é dividido em duas partes. A regiño A, com volume V_{A}, contém um gís ideal a uma temperatura T_{A}. Na regiño B, com volume V_{B}=2 V_{A}, fazse vácuo. Ao abrir um pequeno orifício entre as regiões, o gás da regiāo A começa a ocupar a regiāo B. Consideràndo que nāo há troca de calor entre o gás e o recipiente, e que não se faz trabalho pôr sobre o gás ao abrir a válvula, a temperatura de equilíbrio do sistema é
(a) \quad T_{A} / 3
(b) T_{A} / 2
(c) T_{A}
(d) 2 T_{A}
(e) 3 T_{A}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Temos um recipiente isolado termicamente dividido em duas regiões: A e B.
  • A região A tem volume V_{A} e contém um gás ideal à temperatura T_{A}.
  • A região B tem volume V_{B}=2V_{A} e está inicialmente em vácuo.
  • Abre-se um orifício entre A e B; o gás de A expande-se para ocupar a totalidade do volume ( V_{\text{final}}=V_{A}+V_{B}=3V_{A}).
  • O recipiente é termicamente isolado (não há troca de calor com o exterior).
  • Ao abrir a válvula não se faz trabalho sobre o gás (expansão para o vácuo).
  • Pergunta: qual é a temperatura de equilíbrio final do sistema?
Lista das informações relevantes:
  • V_{A} dado, V_{B}=2V_{A}.
  • Temperatura inicial do gás: T_{A}.
  • Sistema isolado: Q=0 (nenhum calor trocado).
  • Não há trabalho realizado sobre o gás: W=0.
  • Gás ideal (modelo ideal).

Passo 2

Entender o princípio físico que vamos usar: a primeira lei da termodinâmica, que relaciona variação da energia interna, calor trocado e trabalho realizado. Escrevemos essa lei como:
\Delta U = Q - W.
Aqui:
  • \Delta U é a variação da energia interna do gás entre o estado final e o inicial,
  • Q é o calor recebido pelo gás (positivo se entra calor),
  • W é o trabalho realizado pelo gás sobre o ambiente (positivo quando gás realiza trabalho).
No nosso problema sabemos que o recipiente é isolado ( Q=0) e que não se faz trabalho sobre o gás ao abrir a válvula (expansão livre para o vácuo), portanto W=0. Assim a equação fica simplesmente:
\Delta U = 0.

Passo 3

Explicar o que é energia interna para um gás ideal e como ela depende da temperatura. Para um gás ideal (classicamente), a energia interna total depende apenas da temperatura e do número de mols n. Escrevemos:
U = n C_{V} T,
onde:
  • U é a energia interna,
  • n é o número de mols do gás (constante aqui, não há troca de partículas),
  • C_{V} é a capacidade térmica molar a volume constante (uma constante que depende do tipo de gás; por exemplo, para um gás monoatômico C_{V}=\tfrac{3}{2}R, mas o valor numérico não é necessário aqui),
  • T é a temperatura absoluta do gás.
Portanto, a variação de energia interna entre estado final e inicial é
\Delta U = n C_{V} (T_{\text{f}} - T_{A}),
onde T_{\text{f}} é a temperatura final de equilíbrio que queremos achar.

Passo 4

Combinar o resultado de
n C_{V} (T_{\text{f}} - T_{A}) = 0.
Como n e C_{V} são positivos e não nulos, a única solução é
T_{\text{f}} - T_{A} = 0 \quad\Rightarrow\quad T_{\text{f}} = T_{A}.

Passo 5

Dar intuição alternativa (cinética): em um gás ideal a temperatura é proporcional à energia cinética média das moléculas. A expansão livre para o vácuo não realiza colisões macroscópicas que troquem energia com paredes que façam trabalho nem troca de calor com o ambiente; as moléculas simplesmente ocupam um volume maior, mas sua distribuição de velocidades (e assim a energia cinética média) permanece, portanto a temperatura, que mede essa energia média, não muda. Isso confirma o resultado anterior de forma física e intuitiva.

Passo 6

Observações importantes para a prova (coisas que costumam cair e você pode escrever rapidamente):
  • Sempre verifique se o gás é ideal: só assim podemos afirmar U depende apenas de T.
  • Verifique se há troca de calor ( Q) ou trabalho W. Aqui ambos são nulos.
  • Mesmo sendo um processo irreversível (expansão livre), a primeira lei vale e garante conservação da energia interna.
  • O aumento do volume não implica, por si só, variação de temperatura para gás ideal em expansão livre.

Passo 7

Conclusão direta: a temperatura de equilíbrio do gás após abrir o orifício, nas condições dadas, é igual à temperatura inicial T_{A}. Em termos da alternativa do enunciado, corresponde à letra (c).

Resposta

(c) T_{A}

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