pedra, em qualquer instante t durante o seu movimen to, é dada por v(t)=6-2 t \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine:
a) 0 deslocamento da pedra durante o período de tem po 0 \leq t \leq 5.
b) A distância total percorrida durante esse período de tempo.

Passo 1

O enunciado diz que a velocidade da pedra em função do tempo é
v(t)=6-2t\quad\text{m/s}
e pede (a) o deslocamento no intervalo 0\le t\le5 e (b) a distância total percorrida nesse mesmo intervalo. Para isso vamos usar integração de velocidade: o deslocamento é \int v(t)\,dt e a distância total é \int |v(t)|\,dt.

Passo 2

Calculamos o deslocamento \Delta x como
\Delta x = \int_{0}^{5}v(t)\,dt = \int_{0}^{5}(6-2t)\,dt.
Para integrar, usamos antiderivada de 6-2t que é 6t - t^2. Portanto,
\Delta x = \bigl[6t - t^2\bigr]_{0}^{5} = (6\cdot5 - 5^2) - (0) = 30 - 25 = 5\\ \text{m}.

Passo 3

Para achar a distância total, determinamos quando a velocidade muda de sinal. Resolva
6 - 2t = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = 3\\ \text{s}.
Isso indica que de t=0 a t=3 a velocidade é positiva (a pedra se afasta) e de t=3 a t=5 a velocidade é negativa (a pedra retorna).

Passo 4

A distância total é a soma das áreas abaixo da curva de velocidade em valor absoluto:
\text{Distância} = \int_{0}^{3}(6-2t)\,dt \;+\;\int_{3}^{5}|6-2t|\,dt.â
No segundo termo, para t>3, 6-2t é negativo, então |6-2t|=2t-6.

Passo 5

Calcule as duas integrais:
\int_{0}^{3}(6-2t)\,dt = \bigl[6t - t^2\bigr]_{0}^{3} = (18 - 9) - 0 = 9\\ \text{m},
\int_{3}^{5}(2t-6)\,dt = \bigl[t^2 - 6t\bigr]_{3}^{5} = \bigl(25 - 30\bigr) - \bigl(9 - 18\bigr) = (-5) - (-9) = 4\\ \text{m}.
Somando,
\text{Distância total} = 9 + 4 = 13\\ \text{m}.â

Resposta

(a) O deslocamento é 5\\ \text{m}.
(b) A distância total percorrida é 13\\ \text{m}.

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