Rafael começou a colecionar calendários em 2001 e, embora alguns deles sejam idênticos (por exemplo os calendários de 2015 e 2026), sua coleção ainda não está completa. Em que ano ele completará sua coleção e quantos calendários diferentes ele terá?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Dado: Rafael começou a colecionar calendários em
. - Dado (observação): alguns calendários são idênticos, por exemplo os de
e . - Pedido: em que ano ele completará a coleção (isto é, a partir de que ano não surgirão calendários novos que ele ainda não tenha) e quantos calendários diferentes ele terá no total.
Passo 2
Entender o que distingue dois calendários (a “identidade” dos calendários). Explicação didática, passo a passo:
- Um calendário anual depende de duas informações essenciais: (i) se o ano é bissexto ou não, e (ii) o dia da semana em que começa o ano (por exemplo, se
de janeiro cai numa segunda, terça, …). - Assim, existem no máximo
possibilidades de dia da semana para o começo do ano e possibilidades de tipo de ano (comum ou bissexto). Logo o número máximo de calendários diferentes é Vou explicar o porquê disso ser suficiente: dois anos com o mesmo tipo (bissexto ou não) e com o mesmo dia da semana em de janeiro terão exatamente as mesmas posições de dias e datas ao longo do ano, logo o mesmo calendário.
Passo 3
Regra dos anos bissextos e como o dia de início avança de ano para ano (isso é importante para ver quando aparecem todas as combinações):
- Regra do calendário gregoriano (aplicável a
em diante): um ano é bissexto se for divisível por , exceto anos múltiplos de que não sejam múltiplos de . Entre e só usamos a condição "divisível por " porque é exceção futura. - Como o dia da semana de
de janeiro muda de um ano para o próximo: - se o ano
for comum, então de janeiro de cai um dia da semana adiante (deslocamento ); - se
for bissexto, então o deslocamento é dias (porque fevereiro tem um dia a mais).
- se o ano
- Isso cria uma sequência de deslocamentos
ou que faz o dia inicial “andar” pelos dias da semana. Dentro de um mesmo século sem exceção de ano (como o século XXI antes de ), esse padrão se repete a cada anos (porque e a combinação do ciclo semanal com o ciclo de anos bissextos de anos gera período ).
Passo 4
Aplicar a regra prática: calcular qual é o dia da semana de
de janeiro para os anos a partir de
até que o padrão volte ao início e anotar se o ano é bissexto. Começo lembrando que
de janeiro de
foi segunda-feira (vou usar os nomes dos dias apenas como rótulo; os anos serão escritos em TeX). A sequência ano a ano obtida aplicando os deslocamentos fica assim (ano — dia de
de janeiro — bissexto?):
-
: segunda — comum -
: terça — comum -
: quarta — comum -
: quinta — bissexto -
: sábado — comum -
: domingo — comum -
: segunda — comum -
: terça — bissexto -
: quinta — comum -
: sexta — comum -
: sábado — comum -
: domingo — bissexto -
: terça — comum -
: quarta — comum -
: quinta — comum -
: sexta — bissexto -
: domingo — comum -
: segunda — comum -
: terça — comum -
: quarta — bissexto -
: sexta — comum -
: sábado — comum -
: domingo — comum -
: segunda — bissexto -
: quarta — comum -
: quinta — comum -
: sexta — comum -
: sábado — bissexto
Observação útil: ao passar de
para
o deslocamento é
(porque
é bissexto), então
de janeiro de
volta a ser segunda — exatamente como em
. Isso confirma o ciclo de
anos: o calendário de
repete em
. Logo, analisando os anos
a
obtemos um ciclo completo sem influência de exceção de século.
Passo 5
Agora listar as combinações distintas (dia de
de janeiro + tipo bissexto/comum) que apareceram no período
a
e verificar se todas as
possibilidades surgiram:
- Para anos comuns (não bissextos) na lista aparecem os sete dias da semana como dia inicial: segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo. Portanto surgiram
calendários distintos de ano comum. - Para anos bissextos na lista aparecem também os sete dias da semana como dia inicial:
(quinta), (terça), (domingo), (sexta), (quarta), (segunda), (sábado). Ou seja, surgiram calendários distintos de ano bissexto. - Somando:
calendários diferentes aparecem no conjunto de anos de a .
Passo 6
Determinar em que ano ele terá, pela primeira vez, todos esses
calendários (ou seja, qual é o primeiro ano em que a coleção contém todas as 14 variantes). Para isso olho qual foi a última nova combinação a surgir ao percorrer os anos na ordem crescente:
- Observando a lista do Passo 4, todas as combinações de anos comuns já tinham aparecido bem antes de
. Entre os anos bissextos, o que aparece mais tarde no tempo é (bissexto começando no sábado). Portanto a última combinação necessária aparece em . - Assim, só a partir de
é que Rafael terá visto todas as possibilidades ao menos uma vez.
Passo 7
Conclusão clara e motivadora: a coleção fica completa quando Rafael obtiver o calendário de
, e o total de calendários diferentes que ele terá é
. (Depois de
os calendários começarão a se repetir segundo o ciclo de
anos até a próxima exceção de século.)
Resposta
Ele completará a coleção em
.
Número de calendários diferentes: .
Número de calendários diferentes: