Rafael começou a colecionar calendários em 2001 e, embora alguns deles sejam idênticos (por exemplo os calendários de 2015 e 2026), sua coleção ainda não está completa. Em que ano ele completará sua coleção e quantos calendários diferentes ele terá?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dado: Rafael começou a colecionar calendários em \,2001\,.
  • Dado (observação): alguns calendários são idênticos, por exemplo os de \,2015\, e \,2026\,.
  • Pedido: em que ano ele completará a coleção (isto é, a partir de que ano não surgirão calendários novos que ele ainda não tenha) e quantos calendários diferentes ele terá no total.

Passo 2

Entender o que distingue dois calendários (a “identidade” dos calendários). Explicação didática, passo a passo:
  • Um calendário anual depende de duas informações essenciais: (i) se o ano é bissexto ou não, e (ii) o dia da semana em que começa o ano (por exemplo, se \,1^\circ de janeiro cai numa segunda, terça, …).
  • Assim, existem no máximo 7 possibilidades de dia da semana para o começo do ano e 2 possibilidades de tipo de ano (comum ou bissexto). Logo o número máximo de calendários diferentes é 7 \times 2 = 14.Vou explicar o porquê disso ser suficiente: dois anos com o mesmo tipo (bissexto ou não) e com o mesmo dia da semana em 1^\circ de janeiro terão exatamente as mesmas posições de dias e datas ao longo do ano, logo o mesmo calendário.

Passo 3

Regra dos anos bissextos e como o dia de início avança de ano para ano (isso é importante para ver quando aparecem todas as combinações):
  • Regra do calendário gregoriano (aplicável a \,2001\, em diante): um ano é bissexto se for divisível por \,4\,, exceto anos múltiplos de \,100\, que não sejam múltiplos de \,400\,. Entre \,2001\, e \,2099\, só usamos a condição "divisível por \,4\," porque \,2100\, é exceção futura.
  • Como o dia da semana de 1^\circ de janeiro muda de um ano para o próximo:
    • se o ano Y for comum, então 1^\circ de janeiro de Y+1 cai um dia da semana adiante (deslocamento +1);
    • se Y for bissexto, então o deslocamento é +2 dias (porque fevereiro tem um dia a mais).
  • Isso cria uma sequência de deslocamentos +1 ou +2 que faz o dia inicial “andar” pelos 7 dias da semana. Dentro de um mesmo século sem exceção de ano 100 (como o século XXI antes de 2100), esse padrão se repete a cada 28 anos (porque \mathrm{lcm}(7,4)=28 e a combinação do ciclo semanal com o ciclo de anos bissextos de 4 anos gera período 28).

Passo 4

Aplicar a regra prática: calcular qual é o dia da semana de 1^\circ de janeiro para os anos a partir de \,2001\, até que o padrão volte ao início e anotar se o ano é bissexto. Começo lembrando que 1^\circ de janeiro de \,2001\, foi segunda-feira (vou usar os nomes dos dias apenas como rótulo; os anos serão escritos em TeX). A sequência ano a ano obtida aplicando os deslocamentos fica assim (ano — dia de 1^\circ de janeiro — bissexto?):
  • \,2001\,: segunda — comum
  • \,2002\,: terça — comum
  • \,2003\,: quarta — comum
  • \,2004\,: quinta — bissexto
  • \,2005\,: sábado — comum
  • \,2006\,: domingo — comum
  • \,2007\,: segunda — comum
  • \,2008\,: terça — bissexto
  • \,2009\,: quinta — comum
  • \,2010\,: sexta — comum
  • \,2011\,: sábado — comum
  • \,2012\,: domingo — bissexto
  • \,2013\,: terça — comum
  • \,2014\,: quarta — comum
  • \,2015\,: quinta — comum
  • \,2016\,: sexta — bissexto
  • \,2017\,: domingo — comum
  • \,2018\,: segunda — comum
  • \,2019\,: terça — comum
  • \,2020\,: quarta — bissexto
  • \,2021\,: sexta — comum
  • \,2022\,: sábado — comum
  • \,2023\,: domingo — comum
  • \,2024\,: segunda — bissexto
  • \,2025\,: quarta — comum
  • \,2026\,: quinta — comum
  • \,2027\,: sexta — comum
  • \,2028\,: sábado — bissexto
Observação útil: ao passar de \,2028\, para \,2029\, o deslocamento é +2 (porque \,2028\, é bissexto), então 1^\circ de janeiro de \,2029\, volta a ser segunda — exatamente como em \,2001\,. Isso confirma o ciclo de 28 anos: o calendário de \,2001\, repete em \,2029\,. Logo, analisando os anos \,2001\, a \,2028\, obtemos um ciclo completo sem influência de exceção de século.

Passo 5

Agora listar as combinações distintas (dia de 1^\circ de janeiro + tipo bissexto/comum) que apareceram no período \,2001 a \,2028 e verificar se todas as 14 possibilidades surgiram:
  • Para anos comuns (não bissextos) na lista aparecem os sete dias da semana como dia inicial: segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo. Portanto surgiram 7 calendários distintos de ano comum.
  • Para anos bissextos na lista aparecem também os sete dias da semana como dia inicial: \,2004\, (quinta), \,2008\, (terça), \,2012\, (domingo), \,2016\, (sexta), \,2020\, (quarta), \,2024\, (segunda), \,2028\, (sábado). Ou seja, surgiram 7 calendários distintos de ano bissexto.
  • Somando: 7+7=14 calendários diferentes aparecem no conjunto de anos de \,2001\, a \,2028.

Passo 6

Determinar em que ano ele terá, pela primeira vez, todos esses 14 calendários (ou seja, qual é o primeiro ano em que a coleção contém todas as 14 variantes). Para isso olho qual foi a última nova combinação a surgir ao percorrer os anos na ordem crescente:
  • Observando a lista do Passo 4, todas as combinações de anos comuns já tinham aparecido bem antes de \,2028. Entre os anos bissextos, o que aparece mais tarde no tempo é \,2028\, (bissexto começando no sábado). Portanto a última combinação necessária aparece em \,2028.
  • Assim, só a partir de \,2028\, é que Rafael terá visto todas as 14 possibilidades ao menos uma vez.

Passo 7

Conclusão clara e motivadora: a coleção fica completa quando Rafael obtiver o calendário de \,2028\,, e o total de calendários diferentes que ele terá é \,14\,. (Depois de \,2028\, os calendários começarão a se repetir segundo o ciclo de 28 anos até a próxima exceção de século.)

Resposta

Ele completará a coleção em 2028.
Número de calendários diferentes: 14.

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