Pedro multiplicou dois números de dois algarismos no quadro negro. Depois substituiu os algarismos por letras (algarismos diferentes foram substituídos por letras diferentes e algarismos iguais foram substituídos pela mesma letra). No final ele obteve
A B C D=E E F F
Nestas condições, prove que ele errou em algum lugar.

Passo 1

O enunciado diz que Pedro escreveu no quadro
AB times CD = EEFF
onde cada letra representa um algarismo (diferentes se as letras são diferentes). Queremos mostrar que não há atribuição de dígitos que torne essa igualdade verdadeira, logo Pedro cometeu algum erro.

Passo 2

Observe que o número de quatro dígitos EEFF pode ser escrito em base 10 como
EEFF = 1000E + 100E + 10F + F = 1100E + 11F = 11,(100E + F)
Portanto EEFF é múltiplo de 11.

Passo 3

Da igualdade AB times CD = EEFF segue que
AB times CD
é múltiplo de 11. Como 11 é primo, isso implica que pelo menos um dos fatores AB ou CD também deve ser múltiplo de 11.

Passo 4

Os únicos números de dois algarismos múltiplos de 11 são
11,22,33,44,55,66,77,88,99,
isto é, os números com os dois dígitos iguais. Mas no nosso problema, AB tem Aneq B (pois seriam a mesma letra se fossem o mesmo algarismo) e analogamente Cneq D. Logo nem AB nem CD podem ser múltiplos de 11.

Passo 5

Chegamos a uma contradição: para que o produto seja múltiplo de 11 um dos fatores teria de ser múltiplo de 11, mas isso exigiria dígitos iguais em AB ou em CD, o que não ocorre. Portanto não existe atribuição de algarismos que satisfaça
AB times CD = EEFF

Resposta

Pedro errou em algum lugar, pois não há solução possível para AB times CD = EEFF.

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