Nos Exercícios de 9 a 14, ache uma representação em série de potências para a função em torno do ponto a e determine o raio de convergência.
f(x)=raiz[3]x ; a=1

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de f(x)=raiz[3]x em torno de a=1 e o raio de convergência. O conteúdo principal aqui é a expansão binomial generalizada (série de Newton) para (1+u)^alpha. Precisamos reescrever f(x) como (1+u)^1/3, com u=x-1, e aplicar a fórmula geral dos coeficientes binomiais.

Passo 2

A série de Newton diz que, para alphainR,
(1+u)^alpha = sumn=0^infty binomalphan ,u^n,
onde
binomalphan = alpha(alpha-1)(alpha-2)cdots(alpha-n+1)n!,
e a expansão converge se |u|<1.

Passo 3

No nosso caso, tomamos
u = x-1, alpha = tfrac13,
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raiz[3]x = (1+u)^1/3 = sumn=0^infty binomtfrac13n (x-1)^n

Passo 4

Vamos escrever os primeiros coeficientes:
binomtfrac130 = 1, binomtfrac131 = tfrac13, binomtfrac132 = tfrac13l(tfrac13-1r)2! = -tfrac19,
binomtfrac133 = tfrac13(tfrac13-1)(tfrac13-2)3! = tfrac581, binomtfrac134 = -tfrac10243, ; ldots
Portanto a série fica
raiz[3]x = 1 + tfrac13(x-1) - tfrac19(x-1)^2 + tfrac581(x-1)^3 - tfrac10243(x-1)^4 + cdots

Passo 5

Para o raio de convergência R, aplicamos o critério da razão aos termos gerais
an = binomtfrac13n,
sabendo que a série de Newton converge para |u|<1. Assim
|x-1|<1 Longrightarrow R = 1

Resposta

raiz[3]x = sumn=0^infty binomtfrac13n(x-1)^n = 1 + tfrac13(x-1) - tfrac19(x-1)^2 + tfrac581(x-1)^3 - tfrac10243(x-1)^4 + cdots,
com raio de convergência R=1.

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