Nos Exercícios de 9 a 14, ache uma representação em série de potências para a função em torno do ponto a e determine o raio de convergência.
Passo 1
O enunciado pede a série de potências de
em torno de
e o raio de convergência. O conteúdo principal aqui é a expansão binomial generalizada (série de Newton) para
. Precisamos reescrever
como
, com
, e aplicar a fórmula geral dos coeficientes binomiais.
Passo 2
A série de Newton diz que, para
,
onde
e a expansão converge se
.
Passo 3
No nosso caso, tomamos
logo
Passo 4
Vamos escrever os primeiros coeficientes:
Portanto a série fica
Passo 5
Para o raio de convergência
, aplicamos o critério da razão aos termos gerais
sabendo que a série de Newton converge para
. Assim
Resposta
com raio de convergência
.