Pedro, Paulo e Maria jogam um dado honesto até que um deles ganhe, tirando o primeiro “seis”. Calcule a probabilidade de cada um ganhar o jogo. Confira sua resposta, verificando se a soma das três probabilidades é 1 .
Passo 1
O enunciado: Pedro, Paulo e Maria jogam um dado honesto por turnos nessa ordem (primeiro Pedro, depois Paulo, depois Maria, e volta a Pedro) até que alguém tire o primeiro “seis”. O que se pede: calcular a probabilidade de cada um ganhar o jogo (isto é, ser o primeiro a obter um seis). Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- O dado é honesto, então a probabilidade de tirar um seis em uma jogada é
. - A probabilidade de não tirar seis em uma jogada é
. - Os jogadores jogam em ordem fixa: Pedro → Paulo → Maria → Pedro → …
- O evento “alguém ganha” ocorre na primeira vez que aparece um seis; o processo pode durar um número arbitrário de rodadas, por isso teremos que somar eventos em infinitas possibilidades.
Passo 2
Ideia do método (explicada passo a passo, sem pular etapas): vamos analisar quando cada jogador pode ganhar. Por exemplo, Pedro pode ganhar na sua primeira jogada (primeira rodada do jogo), ou pode não haver nenhum seis nas três primeiras jogadas e então ganhar quando voltar a jogar, ou pode não haver seis nas seis primeiras jogadas e ganhar na sua terceira tentativa, e assim por diante. Essas possibilidades para Pedro formam uma soma infinita de probabilidades com um fator repetitivo, ou seja, uma série geométrica.
Explicando a série geométrica que usaremos:
- Se um evento com probabilidade
se repete independentemente a cada “ciclo” e queremos somar , essa soma é convergente quando e vale
Aqui
será a probabilidade de que um ciclo de três jogadas (Pedro, Paulo, Maria) termine sem nenhum seis, de modo que se nenhum seis ocorreu nos
primeiros lançamentos, o padrão se repete.
Passo 3
Cálculo da probabilidade de Pedro ganhar:
- Probabilidade de Pedro tirar seis numa dada tentativa sua:
. - Probabilidade de não aparecer nenhum seis em um ciclo de três jogadas (Pedro, Paulo, Maria) é
. Vamos chamar esse valor de :
- Pedro ganha se, para algum
, não houve seis nos primeiros lançamentos (probabilidade ) e então ele tira seis na jogada seguinte (probabilidade ). Logo
- Aplicando a fórmula da série geométrica com
(note que ), temos
- Portanto
Expliquei cada passo: o fator
é a chance de sucesso no momento em que Pedro joga, e o fator
garante que todos os
lançamentos anteriores falharam.
Passo 4
Cálculo da probabilidade de Paulo ganhar:
- Para Paulo ganhar em certa rodada, na mesma ideia, é preciso que antes dele naquele ciclo Pedro tenha falhado (probabilidade
) e então Paulo acerte ( ), e tudo isso depois de ciclos completos sem seis. - Assim, para um dado
a probabilidade é . - Somando sobre todos os
,
- Já calculamos
, então
Aqui o fator
é a falha de Pedro imediatamente antes de Paulo na mesma volta.
Passo 5
Cálculo da probabilidade de Maria ganhar:
- Análogo: para Maria ganhar numa volta, Pedro e Paulo devem falhar (
) e então Maria acerta ( ), todo isso depois de ciclos sem seis. - Assim
- Usando
,
Passo 6
Verificação da soma das probabilidades:
A soma é
, como deve ser, confirmando que as probabilidades estão corretas e completas.
Resposta
Pedro:
Paulo:
Maria:
Paulo:
Maria: