Pedro, Paulo e Maria jogam um dado honesto até que um deles ganhe, tirando o primeiro “seis”. Calcule a probabilidade de cada um ganhar o jogo. Confira sua resposta, verificando se a soma das três probabilidades é 1 .

Passo 1

O enunciado: Pedro, Paulo e Maria jogam um dado honesto por turnos nessa ordem (primeiro Pedro, depois Paulo, depois Maria, e volta a Pedro) até que alguém tire o primeiro “seis”. O que se pede: calcular a probabilidade de cada um ganhar o jogo (isto é, ser o primeiro a obter um seis). Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • O dado é honesto, então a probabilidade de tirar um seis em uma jogada é \tfrac{1}{6}.
  • A probabilidade de não tirar seis em uma jogada é \tfrac{5}{6}.
  • Os jogadores jogam em ordem fixa: Pedro → Paulo → Maria → Pedro → …
  • O evento “alguém ganha” ocorre na primeira vez que aparece um seis; o processo pode durar um número arbitrário de rodadas, por isso teremos que somar eventos em infinitas possibilidades.

Passo 2

Ideia do método (explicada passo a passo, sem pular etapas): vamos analisar quando cada jogador pode ganhar. Por exemplo, Pedro pode ganhar na sua primeira jogada (primeira rodada do jogo), ou pode não haver nenhum seis nas três primeiras jogadas e então ganhar quando voltar a jogar, ou pode não haver seis nas seis primeiras jogadas e ganhar na sua terceira tentativa, e assim por diante. Essas possibilidades para Pedro formam uma soma infinita de probabilidades com um fator repetitivo, ou seja, uma série geométrica.
Explicando a série geométrica que usaremos:
  • Se um evento com probabilidade r se repete independentemente a cada “ciclo” e queremos somar \sum_{n=0}^{\infty} r^n, essa soma é convergente quando |r|<1 e vale
\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}.
Aqui r será a probabilidade de que um ciclo de três jogadas (Pedro, Paulo, Maria) termine sem nenhum seis, de modo que se nenhum seis ocorreu nos 3n primeiros lançamentos, o padrão se repete.

Passo 3

Cálculo da probabilidade de Pedro ganhar:
  • Probabilidade de Pedro tirar seis numa dada tentativa sua: \tfrac{1}{6}.
  • Probabilidade de não aparecer nenhum seis em um ciclo de três jogadas (Pedro, Paulo, Maria) é \left(\tfrac{5}{6}\right)^3. Vamos chamar esse valor de r:
r = \left(\tfrac{5}{6}\right)^3 = \tfrac{125}{216}.
  • Pedro ganha se, para algum n\ge0, não houve seis nos primeiros 3n lançamentos (probabilidade r^n) e então ele tira seis na jogada seguinte (probabilidade \tfrac{1}{6}). Logo
P(\text{Pedro}) = \sum_{n=0}^{\infty} r^n \cdot \tfrac{1}{6}.
  • Aplicando a fórmula da série geométrica com r=\tfrac{125}{216} (note que |r|<1), temos
\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r} = \frac{1}{1 - \tfrac{125}{216}} = \frac{1}{\tfrac{91}{216}} = \frac{216}{91}.
  • Portanto
P(\text{Pedro}) = \tfrac{1}{6}\cdot \frac{216}{91} = \frac{216}{546} = \frac{36}{91}.
Expliquei cada passo: o fator \tfrac{1}{6} é a chance de sucesso no momento em que Pedro joga, e o fator r^n garante que todos os 3n lançamentos anteriores falharam.

Passo 4

Cálculo da probabilidade de Paulo ganhar:
  • Para Paulo ganhar em certa rodada, na mesma ideia, é preciso que antes dele naquele ciclo Pedro tenha falhado (probabilidade \tfrac{5}{6}) e então Paulo acerte ( \tfrac{1}{6}), e tudo isso depois de n ciclos completos sem seis.
  • Assim, para um dado n\ge0 a probabilidade é r^n \cdot \tfrac{5}{6}\cdot \tfrac{1}{6}.
  • Somando sobre todos os n,
P(\text{Paulo}) = \sum_{n=0}^{\infty} r^n \cdot \tfrac{5}{6}\cdot \tfrac{1}{6} = \left(\tfrac{5}{36}\right)\sum_{n=0}^{\infty} r^n.
  • Já calculamos \sum_{n=0}^{\infty} r^n = \tfrac{216}{91}, então
P(\text{Paulo}) = \tfrac{5}{36}\cdot \frac{216}{91} = \frac{5\cdot 216}{36\cdot 91} = \frac{5\cdot 6}{91} = \frac{30}{91}.
Aqui o fator \tfrac{5}{6} é a falha de Pedro imediatamente antes de Paulo na mesma volta.

Passo 5

Cálculo da probabilidade de Maria ganhar:
  • Análogo: para Maria ganhar numa volta, Pedro e Paulo devem falhar ( \tfrac{5}{6}\cdot \tfrac{5}{6} = \tfrac{25}{36}) e então Maria acerta ( \tfrac{1}{6}), todo isso depois de n ciclos sem seis.
  • Assim
P(\text{Maria}) = \sum_{n=0}^{\infty} r^n \cdot \tfrac{25}{36}\cdot \tfrac{1}{6} = \left(\tfrac{25}{216}\right)\sum_{n=0}^{\infty} r^n.
  • Usando \sum_{n=0}^{\infty} r^n = \tfrac{216}{91},
P(\text{Maria}) = \tfrac{25}{216}\cdot \frac{216}{91} = \frac{25}{91}.

Passo 6

Verificação da soma das probabilidades:
P(\text{Pedro}) + P(\text{Paulo}) + P(\text{Maria}) = \frac{36}{91} + \frac{30}{91} + \frac{25}{91} = \frac{36+30+25}{91} = \frac{91}{91} = 1.
A soma é 1, como deve ser, confirmando que as probabilidades estão corretas e completas.

Resposta

Pedro: \dfrac{36}{91}
Paulo: \dfrac{30}{91}
Maria: \dfrac{25}{91}

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