Se
, qual o valor de:
Resposta
(3) 848
-212
-636
-106
636
Resposta
(3) 848
-212
-636
-106
636
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
e pede o valor da expressão
Informações relevantes listadas:
- Sabemos
. - A expressão a calcular é soma de vários produtos mistos (produto escalar com um produto vetorial).
A partir daqui vamos transformar cada termo em múltiplos deusando propriedades do produto misto.
Passo 2
Vamos lembrar e explicar as propriedades do produto misto (triple scalar product) que vamos usar:
- Definição:
. Aqui são vetores; o resultado é um escalar. - Propriedade cíclica: permutar ciclicamente não altera o valor:
Isto acontece porque o produto vetorial e o escalar se encaixam em um determinante; uma rotação cíclica das colunas do determinante não muda o valor.
- Trocar duas posições (uma transposição) inverte o sinal:
- Se dois vetores são iguais, o produto misto é zero, por exemplo
, porque ou geometricamente o volume é zero.
Essas propriedades bastam para reescrever cada termo dado em função de.
Passo 3
Calculemos termo a termo, reescrevendo sempre em termos de
.
Termo 1:
Como
, segue que
Passo 4
Termo 2:
Usando a permutação cíclica
, obtemos
Passo 5
Termo 3:
Novamente
, logo
Passo 6
Termo 4:
O primeiro somando é zero porque
(vetor repetido). O segundo é
Portanto
Passo 7
Somando todos os termos encontrados:
Façamos soma passo a passo:
Logo o valor da expressão é
.
Resposta
636