Se (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})=53, qual o valor de:
\vec{u} \cdot(\vec{w} \times \vec{v})+(\vec{w} \times \vec{u}) \cdot(8 \vec{v})+\vec{v} \cdot(4 \vec{w} \times \vec{u})+(20 \vec{u}+\vec{v}) \cdot(\vec{w} \times \vec{u}) ?
Resposta
(3) 848
-212
-636
-106
636

Passo 1

O enunciado dá a igualdade (\vec{u},\vec{v},\vec{w})=53 e pede o valor da expressão
\vec{u} \cdot(\vec{w} \times \vec{v})+(\vec{w} \times \vec{u}) \cdot(8 \vec{v})+\vec{v} \cdot(4 \vec{w} \times \vec{u})+(20 \vec{u}+\vec{v}) \cdot(\vec{w} \times \vec{u}).
Informações relevantes listadas:
  • Sabemos (\vec{u},\vec{v},\vec{w})= \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = 53.
  • A expressão a calcular é soma de vários produtos mistos (produto escalar com um produto vetorial).
    A partir daqui vamos transformar cada termo em múltiplos de (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) usando propriedades do produto misto.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar as propriedades do produto misto (triple scalar product) que vamos usar:
  • Definição: (\vec{a},\vec{b},\vec{c})=\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}). Aqui \vec{a},\vec{b},\vec{c} são vetores; o resultado é um escalar.
  • Propriedade cíclica: permutar ciclicamente não altera o valor:
(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=(\vec{b},\vec{c},\vec{a})=(\vec{c},\vec{a},\vec{b}).
Isto acontece porque o produto vetorial e o escalar se encaixam em um determinante; uma rotação cíclica das colunas do determinante não muda o valor.
  • Trocar duas posições (uma transposição) inverte o sinal:
(\vec{a},\vec{c},\vec{b})=-(\vec{a},\vec{b},\vec{c}).
  • Se dois vetores são iguais, o produto misto é zero, por exemplo (\vec{a},\vec{b},\vec{a})=0, porque \vec{a}\times\vec{a}=\vec{0} ou geometricamente o volume é zero.
    Essas propriedades bastam para reescrever cada termo dado em função de (\vec{u},\vec{v},\vec{w}).

Passo 3

Calculemos termo a termo, reescrevendo sempre em termos de (\vec{u},\vec{v},\vec{w}).
Termo 1:
\vec{u}\cdot(\vec{w}\times\vec{v}) = \vec{u}\cdot\big(-(\vec{v}\times\vec{w})\big) = -\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = -(\vec{u},\vec{v},\vec{w}).
Como (\vec{u},\vec{v},\vec{w})=53, segue que
\vec{u}\cdot(\vec{w}\times\vec{v}) = -53.

Passo 4

Termo 2:
(\vec{w}\times\vec{u})\cdot(8\vec{v}) = 8\big((\vec{w}\times\vec{u})\cdot\vec{v}\big) = 8\,\vec{v}\cdot(\vec{w}\times\vec{u}) = 8(\vec{v},\vec{w},\vec{u}).
Usando a permutação cíclica (\vec{v},\vec{w},\vec{u})=(\vec{u},\vec{v},\vec{w}), obtemos
(\vec{w}\times\vec{u})\cdot(8\vec{v}) = 8\cdot 53 = 424.

Passo 5

Termo 3:
\vec{v}\cdot(4\vec{w}\times\vec{u}) = 4\,\vec{v}\cdot(\vec{w}\times\vec{u}) = 4(\vec{v},\vec{w},\vec{u}).
Novamente (\vec{v},\vec{w},\vec{u})=(\vec{u},\vec{v},\vec{w})=53, logo
\vec{v}\cdot(4\vec{w}\times\vec{u}) = 4\cdot 53 = 212.

Passo 6

Termo 4:
(20\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{w}\times\vec{u}) = 20\,\vec{u}\cdot(\vec{w}\times\vec{u}) + \vec{v}\cdot(\vec{w}\times\vec{u}).
O primeiro somando é zero porque \vec{u}\cdot(\vec{w}\times\vec{u})=(\vec{u},\vec{w},\vec{u})=0 (vetor repetido). O segundo é
\vec{v}\cdot(\vec{w}\times\vec{u}) = (\vec{v},\vec{w},\vec{u}) = (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) = 53.
Portanto
(20\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{w}\times\vec{u}) = 0 + 53 = 53.

Passo 7

Somando todos os termos encontrados:
-53 + 424 + 212 + 53.
Façamos soma passo a passo:
-53 + 424 = 371,
371 + 212 = 583,
583 + 53 = 636.
Logo o valor da expressão é 636.

Resposta

636

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