Uma bomba de ar comum está evacuando um recipiente de volume
. O cilindro dessa bomba, com o pistão em cima, tem volume
, e a massa total de ar no recipiente, no princípio, é
. Na
-ésima bombeada, a massa de ar removida desse recipiente é
Supondo que essa bomba opere “para sempre”, qual é a massa total de ar por ela removida desse recipiente?
Passo 1
O enunciado dá um recipiente com volume
contendo, inicialmente, massa total de ar
. A bomba tem um cilindro cujo pistão em cima tem volume
. Na
-ésima bombeada é removida a massa
A pergunta: supondo que a bomba opere para sempre (infinitas bombeadas), qual é a massa total de ar por ela removida do recipiente?
Passo 2
Vamos escrever a massa total removida como soma das massas removidas em cada bombeada, isto é
Factorizei a constante
porque não depende de
, ficando
Agora mudo o índice para uma soma padrão: seja
. Então
vai de
a
e a soma é
onde usei
.
Antes de aplicar a fórmula da soma, verifico que essa série geométrica converge: como
(o cilindro tem volume positivo), temos
e portanto
Para uma série geométrica
com
, a soma é
(Se quiser ver a dedução rápida: a soma parcial
. Como
,
quando
, logo
.)
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso,
Calculo o denominador:
Portanto
Substituindo de volta em
,
Passo 4
Interpretação e checagem rápida: o cálculo mostra que, somando todas as bombas (infinitas), a massa total removida é exatamente a massa inicial
. Intuitivamente faz sentido: em cada bombeada você retira uma fração do que resta, e fazendo isso infinitas vezes acaba-se removendo toda a massa. Se quiser um exemplo numérico para ganhar confiança, escolha
,
,
; então
e a soma das parcelas dá
.
Força aí — deu trabalho, mas o resultado ficou limpinho: tudo o que havia é retirado quando a operação é infinita.