Uma bomba de ar comum está evacuando um recipiente de volume V. O cilindro dessa bomba, com o pistão em cima, tem volume v, e a massa total de ar no recipiente, no princípio, é M. Na n-ésima bombeada, a massa de ar removida desse recipiente é
\frac{M v}{V+v}\left(\frac{V}{V+v}\right)^{n-1} .
Supondo que essa bomba opere “para sempre”, qual é a massa total de ar por ela removida desse recipiente?

Passo 1

O enunciado dá um recipiente com volume V contendo, inicialmente, massa total de ar M. A bomba tem um cilindro cujo pistão em cima tem volume v. Na n-ésima bombeada é removida a massa
\frac{M v}{V+v}\left(\frac{V}{V+v}\right)^{n-1}.
A pergunta: supondo que a bomba opere para sempre (infinitas bombeadas), qual é a massa total de ar por ela removida do recipiente?

Passo 2

Vamos escrever a massa total removida como soma das massas removidas em cada bombeada, isto é
S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{M v}{V+v}\left(\frac{V}{V+v}\right)^{n-1}.
Factorizei a constante \dfrac{M v}{V+v} porque não depende de n, ficando
S=\frac{M v}{V+v}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{V}{V+v}\right)^{n-1}.
Agora mudo o índice para uma soma padrão: seja k=n-1. Então k vai de 0 a \infty e a soma é
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{V}{V+v}\right)^{n-1}=\sum_{k=0}^{\infty} r^{k},
onde usei r=\dfrac{V}{V+v}.
Antes de aplicar a fórmula da soma, verifico que essa série geométrica converge: como v>0 (o cilindro tem volume positivo), temos V+v>V e portanto
r=\frac{V}{V+v}<1.
Para uma série geométrica \sum_{k=0}^{\infty}r^{k} com |r|<1, a soma é
\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}=\frac{1}{1-r}.
(Se quiser ver a dedução rápida: a soma parcial S_N=1+r+\cdots+r^{N}=\dfrac{1-r^{N+1}}{1-r}. Como |r|<1, r^{N+1}\to0 quando N\to\infty, logo S=\dfrac{1}{1-r}.)

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso,
S=\frac{M v}{V+v}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{V}{V+v}}.
Calculo o denominador:
1-\frac{V}{V+v}=\frac{V+v}{V+v}-\frac{V}{V+v}=\frac{v}{V+v}.
Portanto
\frac{1}{1-\dfrac{V}{V+v}}=\frac{1}{\dfrac{v}{V+v}}=\frac{V+v}{v}.
Substituindo de volta em S,
S=\frac{M v}{V+v}\cdot\frac{V+v}{v}=M.

Passo 4

Interpretação e checagem rápida: o cálculo mostra que, somando todas as bombas (infinitas), a massa total removida é exatamente a massa inicial M. Intuitivamente faz sentido: em cada bombeada você retira uma fração do que resta, e fazendo isso infinitas vezes acaba-se removendo toda a massa. Se quiser um exemplo numérico para ganhar confiança, escolha V=10, v=2, M=100; então r=10/12 e a soma das parcelas dá 100.
Força aí — deu trabalho, mas o resultado ficou limpinho: tudo o que havia é retirado quando a operação é infinita.

Resposta

M

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