Um recipiente contém originalmente 10 gramas de sal dissolvidos em 1000 centímetros cúbicos de água. O seguinte procedimento é realizado repetidamente: 250 centímetros cúbicos de água salgada são derramados, substituídos por 250 centímetros de água pura, e a solução é inteiramente agitada.
a) Depois de se repetir esse procedimento
vezes, quantos gramas de sal foram removidos desse recipiente?
b) Se esse procedimento for repetido “indefinidamente”, quanto de sal permanecerá no recipiente?
a) Depois de se repetir esse procedimento
b) Se esse procedimento for repetido “indefinidamente”, quanto de sal permanecerá no recipiente?
Passo 1
O enunciado dá um recipiente com
gramas de sal inicialmente dissolvidos em
de água. O procedimento repetido é: retirar
da solução (ou seja, um quarto do volume), substituir por
de água pura e agitar, e então repetir esse procedimento várias vezes.
As perguntas do enunciado são:
a) Depois de repetir esse procedimento vezes, quantos gramas de sal foram removidos do recipiente?
b) Se o procedimento for repetido indefinidamente, quanto de sal permanecerá no recipiente?
a) Depois de repetir esse procedimento
b) Se o procedimento for repetido indefinidamente, quanto de sal permanecerá no recipiente?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Volume do recipiente:
. - Volume retirado e substituído a cada passo:
. - Fração do volume que é retirada em cada passo:
. - Sal inicial:
gramas. - A água adicionada é pura (não adiciona sal).
- A solução é perfeitamente homogênea após agitar (logo a concentração é uniforme antes de cada retirada).
Passo 2
Modelando a quantidade de sal depois de um passo: seja
a quantidade de sal (em gramas) no recipiente imediatamente após a
-ésima repetição do procedimento. Portanto
é a quantidade inicial.
Raciocínio físico-matemático: antes de retirar numa etapa qualquer há
gramas uniformemente distribuídos em
. Ao retirar
(um quarto do volume), retiramos exatamente um quarto do sal presente, porque a solução é homogênea. Assim a fração de sal que permanece após a retirada é
.
Como a água que entra é pura, ela não altera a quantidade de sal presente depois da reposição — somente recupera o volume. Logo, imediatamente após uma repetição, a nova quantidade de sal é
da quantidade anterior.
Isso nos dá a relação de recorrência (recurrence):
Passo 3
Resolver a recorrência para obter uma fórmula fechada: a relação
com
é uma progressão geométrica. Aplicando a recorrência repetidas vezes obtemos
e, por indução, para qualquer inteiro
,
Substituindo
,
Pequeno exemplo numérico para intuição: após uma retirada (
), fica
g; após duas retiradas (
), fica
g, e assim por diante.
Passo 4
Agora calculamos quantos gramas de sal foram removidos depois de
repetições. A quantidade removida é a diferença entre o sal inicial e o sal que resta após
passos:
Substituindo a expressão de
,
Essa é a resposta da parte (a). Interprete: com o passar das repetições cada vez menos sal é retirado porque a solução vai ficando mais diluída.
Passo 5
Parte (b): comportamento quando o procedimento é repetido indefinidamente (
). Precisamos calcular o limite de
quando
cresce sem limite:
Aqui usamos a propriedade das progressões geométricas: se
então
. No nosso caso
e
, logo
Portanto
Interpretação física: repetindo o procedimento indefinidamente, a concentração de sal tende a zero, isto é, eventualmente não resta praticamente sal no recipiente.
Observação útil para prova: o mesmo raciocínio vale sempre que se retira uma fração fixa
do volume e repõe com solvente puro — a razão de multiplicação por etapa é
, e a quantidade após
etapas é
.
Resposta
a)
g
b)
g