Um recipiente contém originalmente 10 gramas de sal dissolvidos em 1000 centímetros cúbicos de água. O seguinte procedimento é realizado repetidamente: 250 centímetros cúbicos de água salgada são derramados, substituídos por 250 centímetros de água pura, e a solução é inteiramente agitada.
a) Depois de se repetir esse procedimento n vezes, quantos gramas de sal foram removidos desse recipiente?
b) Se esse procedimento for repetido “indefinidamente”, quanto de sal permanecerá no recipiente?

Passo 1

O enunciado dá um recipiente com 10 gramas de sal inicialmente dissolvidos em 1000\\ \text{cm}^3 de água. O procedimento repetido é: retirar 250\\ \text{cm}^3 da solução (ou seja, um quarto do volume), substituir por 250\\ \text{cm}^3 de água pura e agitar, e então repetir esse procedimento várias vezes.
As perguntas do enunciado são:
a) Depois de repetir esse procedimento n vezes, quantos gramas de sal foram removidos do recipiente?
b) Se o procedimento for repetido indefinidamente, quanto de sal permanecerá no recipiente?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Volume do recipiente: 1000\\ \text{cm}^3.
  • Volume retirado e substituído a cada passo: 250\\ \text{cm}^3.
  • Fração do volume que é retirada em cada passo: \tfrac{250}{1000}=\tfrac{1}{4}.
  • Sal inicial: 10 gramas.
  • A água adicionada é pura (não adiciona sal).
  • A solução é perfeitamente homogênea após agitar (logo a concentração é uniforme antes de cada retirada).

Passo 2

Modelando a quantidade de sal depois de um passo: seja S_k a quantidade de sal (em gramas) no recipiente imediatamente após a k-ésima repetição do procedimento. Portanto S_0=10 é a quantidade inicial.
Raciocínio físico-matemático: antes de retirar numa etapa qualquer há S_k gramas uniformemente distribuídos em 1000\\ \text{cm}^3. Ao retirar 250\\ \text{cm}^3 (um quarto do volume), retiramos exatamente um quarto do sal presente, porque a solução é homogênea. Assim a fração de sal que permanece após a retirada é 1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}.
Como a água que entra é pura, ela não altera a quantidade de sal presente depois da reposição — somente recupera o volume. Logo, imediatamente após uma repetição, a nova quantidade de sal é \tfrac{3}{4} da quantidade anterior.
Isso nos dá a relação de recorrência (recurrence):
S_{k+1}=\tfrac{3}{4}S_k.

Passo 3

Resolver a recorrência para obter uma fórmula fechada: a relação \,S_{k+1}=\tfrac{3}{4}S_k com S_0=10 é uma progressão geométrica. Aplicando a recorrência repetidas vezes obtemos
S_1=\tfrac{3}{4}S_0,
S_2=\tfrac{3}{4}S_1=\left(\tfrac{3}{4}\right)^2S_0,
e, por indução, para qualquer inteiro n\ge 0,
S_n=\left(\tfrac{3}{4}\right)^n S_0.
Substituindo S_0=10,
S_n=10\left(\tfrac{3}{4}\right)^n.
Pequeno exemplo numérico para intuição: após uma retirada ( n=1), fica 10\cdot\tfrac{3}{4}=7,5 g; após duas retiradas ( n=2), fica 10\cdot\left(\tfrac{3}{4}\right)^2=10\cdot\tfrac{9}{16}=5,625 g, e assim por diante.

Passo 4

Agora calculamos quantos gramas de sal foram removidos depois de n repetições. A quantidade removida é a diferença entre o sal inicial e o sal que resta após n passos:
\text{Removido após }n\text{ passos}=S_0-S_n.ó
Substituindo a expressão de S_n,
\text{Removido}=10-10\left(\tfrac{3}{4}\right)^n=10\left[1-\left(\tfrac{3}{4}\right)^n\right].
Essa é a resposta da parte (a). Interprete: com o passar das repetições cada vez menos sal é retirado porque a solução vai ficando mais diluída.

Passo 5

Parte (b): comportamento quando o procedimento é repetido indefinidamente ( n\to\infty). Precisamos calcular o limite de S_n quando n cresce sem limite:
\lim_{n\to\infty} S_n=\lim_{n\to\infty} 10\left(\tfrac{3}{4}\right)^n.
Aqui usamos a propriedade das progressões geométricas: se |r|<1 então \lim_{n\to\infty} r^n=0. No nosso caso r=\tfrac{3}{4} e |r|=\tfrac{3}{4}<1, logo
\lim_{n\to\infty}\left(\tfrac{3}{4}\right)^n=0.
Portanto
\lim_{n\to\infty} S_n=10\cdot 0=0.
Interpretação física: repetindo o procedimento indefinidamente, a concentração de sal tende a zero, isto é, eventualmente não resta praticamente sal no recipiente.
Observação útil para prova: o mesmo raciocínio vale sempre que se retira uma fração fixa f do volume e repõe com solvente puro — a razão de multiplicação por etapa é 1-f, e a quantidade após n etapas é S_0(1-f)^n.

Resposta

a) 10\left(1-\left(\tfrac{3}{4}\right)^n\right) g
b) 0 g

Exercícios relacionados