Um peixe nada corrente acima numa velocidade constante v relativa à água, que por sua vez fui a uma velocidade constante vw(vw relativa ao solo. A energia gasta por peixe ao viajar para um ponto rio acima é dada por: E(v)=Cv^kv-vw. Onde C>0 é uma constante física e k>0 é um número que depende do tipo de peixe ^* 1.
Calcule lim v vw E(v). Interprete o resultado.

Passo 1

O enunciado: um peixe nada contra a corrente com velocidade relativa à água v, enquanto a água flui a vₚ = v_w em relação ao solo. A energia gasta é dada por E(v)= C v^kv - vw. O objetivo é estudar o limite de E(v) quando v tende a v_w. O conteúdo envolvido é cálculo de limites de funções racionais e interpretação física.

Passo 2

Para calcular limv to vw E(v) analisamos o numerador e o denominador separadamente. Como C>0 e k>0, temos numerador C v^k to C vw^k, que é um número positivo finito. Já o denominador v - vw tende a zero quando v→v_w, mudando de sinal conforme v>v_w. Como consideramos o peixe nadando rio acima, temos v>v_w, então v-vw>0 e tende a zero.

Passo 3

Quando um numerador finito e não nulo é dividido por um denominador que tende a zero positivo, o quociente cresce sem limite. Portanto, E(v) tende a +∞.

Passo 4

Interpretação física: para o peixe manter exatamente a mesma velocidade da água (v→v_w) ele não consegue progredir contra a corrente, e teoricamente a energia exigida diverge. Ou seja, tentar igualar a velocidade da água demanda gasto infinito de energia.

Resposta

+infty

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