Resolva
y^prime prime=2 y(y^prime)^3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
y'' = 2,y,(y')^3
O conteúdo envolve redução de ordem usando a troca p = y' e integrações sucessivas para encontrar a solução geral.

Passo 2

Definimos p = y'. Como y''=dfracdpdx e dfracdpdx=dfracdpdydfracdydx=pdfracdpdy, a equação fica
pdpdy = 2,y,p^3
Isso nos leva a uma EDO de primeira ordem em p(y).

Passo 3

Assumindo pneq0, separamos variáveis:
racdpp^2 = 2,y,dy
Aqui usamos a técnica de separação de variáveis, isolando termos em p de um lado e em y do outro.

Passo 4

Integramos os dois lados:
integral dpp^2 = integral 2,y,dy
Isso dá
-1p = y^2 + C1
onde C1 é uma constante de integração.

Passo 5

Voltando a p=y', temos
y' = p = -1y^2 + C1
Agora é uma EDO de primeira ordem em y(x).

Passo 6

Separamos de novo para integrar:
(y^2 + C1),dy = -dx
e integramos:
integral (y^2 + C1),dy = -integral dx
resultando em
y^33 + C1,y = -x + C2
onde C2 é outra constante.

Passo 7

Reorganizando a expressão, chegamos à solução implícita geral:
y^33 + C1,y + x = C2
Essa é a família de curvas que satisfazem a equação diferencial original.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
y^33 + C1,y + x = C2

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