Resolva
y^prime-y=(x-1) sen(x)+(x+1) cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y'-y=(x-1)sin(x)+(x+1)cos(x)
Esse tipo de EDO tem a forma padrão
y'+P(x)y=Q(x)
Aqui temos P(x)=-1 e Q(x)=(x-1)sin(x)+(x+1)cos(x). Para resolver vamos usar fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral(-1),dx=e^-x
Multiplicamos a equação original por mu(x):
e^-xy'-e^-xy=,e^-xl((x-1)sin x+(x+1)cos xr)
O lado esquerdo é a derivada do produto e^-xy:
ddxl(e^-xyr)=e^-xl((x-1)sin x+(x+1)cos xr)

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^-xy=integral e^-xl((x-1)sin x+(x+1)cos xr)dx +C
Vamos chamar
I=integral e^-xl((x-1)sin x+(x+1)cos xr)dx
e calcular por partes.

Passo 4

Para calcular I dividimos em duas integrais e aplicamos integração por partes em cada:
  1. I1=integral e^-x(x-1)sin x,dx
  2. I2=integral e^-x(x+1)cos x,dx
Após fazer duas integrações por partes e simplificar, encontra-se
I=e^-xl[-l(x+tfrac12r)cos x+tfrac32sin xr]+tilde C
(Detalhes das contas empacotados para foco na ideia.)

Passo 5

Substituindo em e^-xy=I+C e isolando y:
y=e^xl(I+Cr) =e^xl[e^-xl(-!(x+tfrac12)cos x+tfrac32sin xr)+Cr]
Logo o resultado geral é

Passo 6

Finalmente obtemos a solução geral:

Passo 7

Resposta

y(x)=-l(x+tfrac12r)cos x+tfrac32sin x+C e^x, com C constante arbitrária.

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