Resolva
y y^prime prime+(y^prime)^2=y y^prime

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não linear de segunda ordem y,y''+(y')^2=y,y'. Vamos usar redução de ordem, reconhecendo derivadas de produto.

Passo 2

Note que, aplicando a regra do produto, temos
ddxl(y,y'r)=y'cdot y'+ycdot y''=(y')^2+y,y''
Logo a equação se reescreve como
ddxl(y,y'r)=y,y' .

Passo 3

Definimos u=y,y'. Assim du/dx=y,y''+(y')^2, e a equação vira
dudx=u
que é uma EDO de primeira ordem linear homogênea.

Passo 4

Integrando du/u=dx, obtemos
u=C1e^x,
o que dá
y,y'=C1e^x
Agora separamos variáveis: y,dy=C1e^x,dx e integramos
12y^2=C1e^x+C2

Passo 5

Multiplicando por 2 e renomeando constantes ( A=2C1, B=2C2), achamos
y^2=Ae^x+B
e tomando raiz,
y(x)=pmraizAe^x+B

Resposta

y(x)=pmraizAe^x+B

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