Um peixe nada corrente acima numa velocidade constante v relativa à água, que por sua vez fui a uma velocidade constante vw(vw relativa ao solo. A energia gasta por peixe ao viajar para um ponto rio acima é dada por: E(v)=Cv^kv-vw. Onde C>0 é uma constante física e k>0 é um número que depende do tipo de peixe ^* 1.
O que acontece à E(v) à medida que v se torna arbitrariamente grande? Interprete o resultado.

Passo 1

A questão diz que um peixe nada rio acima com velocidade constante relativa à água v, enquanto a água flui com velocidade constante vw relativa ao solo. A energia gasta é dada por E(v)=dfracC,v^kv-vw, onde C>0 e k>0. Vamos usar cálculos de limite para entender o comportamento de E(v) quando vtoinfty.

Passo 2

Escrevendo E(v) de forma a destacar o termo dominante para v grande, note que:
E(v)=C,v^kv - vw=C,v^kvl(1 - vw/vr)=C,v^k-11 - dfracvwv

Passo 3

Como limvtoinftyvw/v=0, ficamos com
limvtoinftyE(v)=limvtoinftyC,v^k-11-0=limvtoinftyC,v^k-1

Passo 4

Dependendo de k:
  • Se k>1, então k-1>0 e E(v)toinfty.
  • Se k=1, então k-1=0 e E(v)to C.
  • Se 0, então k-1<0 e E(v)to 0.
    Na maior parte dos peixes o arrasto faz k>1.

Passo 5

Interpretação: para peixes com k>1, acelerar indefinidamente leva a consumo de energia cada vez maior, ou seja, não vale a pena nadar muito rápido pois o gasto cresce sem limite.

Resposta

À medida que vtoinfty, tem-se E(v)sim C,v^k-1. Em particular, para k>1 (caso típico), E(v)toinfty, mostrando que acelerar demais faz o gasto de energia disparar.

Exercícios relacionados