Resolva
(1+(y^prime)^2)^3 / 2y^prime prime=2 y raiz1+(y^prime)^2

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a ODE não linear de segunda ordem
(1+(y')^2)^3/2y''=2yraiz1+(y')^2
Esse é um problema de EDO onde a gente vai usar a substituição p=y'=tfracdydx e também y''=tfracdpdx=p,tfracdpdy.

Passo 2

Primeiro simplificamos a equação dividindo os dois lados por raiz1+(y')^2:
(1+(y')^2)^3/2y''divraiz1+(y')^2=2y Longrightarrow 1+(y')^2y''=2y
ou seja
2y,y''=1+(y')^2 .

Passo 3

Substituindo y''=p,tfracdpdy e y'=p, a equação vira
2y,pdpdy=1+p^2
Agora separa variáveis em y e p:
2p1+p^2,dp=dyy .

Passo 4

Integramos os dois lados:
integral 2p1+p^2,dp=integraldyy
No lado esquerdo use u=1+p^2, du=2p,dp, resultando em
ln(1+p^2)=ln|y|+C1
Então
1+p^2=C,y,
onde C=e^C1 é constante de integração.

Passo 5

Agora temos p^2=C y-1, ou seja p=dydx=pmraizC y-1. Separamos de novo:
dyraizC y-1=pm dx
Integrando:
integraldyraizC y-1=pmintegral dx
Fazendo t=C y-1
2CraizC y-1=pm x+C2
Chamando de novo constantes para simplificar, obtemos
raizC y-1=C2x+D
com D constante.

Passo 6

Finalmente elevamos ao quadrado e isolamos y:
C y-1=(tfracC2x+D)^2 Longrightarrow y(x)=(tfracC2x+D)^2+1C
Reescrevendo com constantes A, B mais amigáveis ( A=tfracC4, B=D) acabamos com a família
y(x)=A x^2+B x+B^2+14A
que tem as duas constantes de integração A e B.

Resposta

A solução geral é
y(x)=A x^2+ B x+ \frac{B^2+1}{4A}
com constantes arbitrárias A e B satisfazendo A\neq0.

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