Resolva
Passo 1
O enunciado pede pra resolver a ODE não linear de segunda ordem
Esse é um problema de EDO onde a gente vai usar a substituição
e também
.
Passo 2
Primeiro simplificamos a equação dividindo os dois lados por
:
ou seja
Passo 3
Substituindo
e
, a equação vira
Agora separa variáveis em
e
:
Passo 4
Integramos os dois lados:
No lado esquerdo use
,
, resultando em
Então
onde
é constante de integração.
Passo 5
Agora temos
, ou seja
. Separamos de novo:
Integrando:
Fazendo
dá
Chamando de novo constantes para simplificar, obtemos
com
constante.
Passo 6
Finalmente elevamos ao quadrado e isolamos
:
Reescrevendo com constantes
mais amigáveis (
,
) acabamos com a família
que tem as duas constantes de integração
e
.
Resposta
A solução geral é
y(x)=A x^2+ B x+ \frac{B^2+1}{4A}
com constantes arbitrárias A e B satisfazendo A\neq0.
y(x)=A x^2+ B x+ \frac{B^2+1}{4A}
com constantes arbitrárias A e B satisfazendo A\neq0.