Resolva
y^prime prime prime-3 y^prime prime+2 y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de terceira ordem homogênea com coeficientes constantes.
Conteúdo: EDO linear homogênea de ordem 3 com coeficientes constantes. Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Para esse tipo de EDO, a gente supõe uma solução da forma y(x)=e^r x. Substituindo na equação y'''-3y''+2y'=0 e derivando, chegamos à equação característica:
r^3-3r^2+2r=0

Passo 3

Agora fatoramos o polinômio. Primeiro extraímos r em evidência e depois fatoramos o quadrático:
r(r^2-3r+2)=r(r-1)(r-2)=0
Isso dá as raízes reais simples r=0,1,2.

Passo 4

Como as três raízes são distintas, cada uma gera uma solução fundamental e^r x. Pelo princípio da superposição, a solução geral é a combinação linear dessas soluções.

Resposta

y(x)=C1+ C2e^x+ C3e^2x

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