Resolva
y^prime prime=(x+y^prime)^2

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma equação diferencial de segunda ordem dada por y''=(x+y')^2. O conteúdo aqui é redução de ordem em EDOs e separação de variáveis. Vamos definir p=y' para transformar em uma EDO de primeira ordem e depois integrar duas vezes.

Passo 2

Definição de p: seja p(x)=y'(x). Então y''=dpdx e a equação fica:
dpdx=(x+p)^2
Mudança de variável: vamos definir u = x + p. Calculamos
dudx = 1 + dpdx = 1 + u^2
Separação de variáveis e integração:
du1+u^2 = dx
Integrando ambos os lados:
integral du1+u^2 = integral dx
obtemos
arctan(u) = x + C1
Voltando à variável p: como u = x + p, temos
x + p = tan(x + C1)
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$$
p = y’ = \tan(x + C_1) - x. p = y' = tan(x + C1) - xçã
y = \int \bigl(\tan(x + C_1) - x\bigr),dx. y
y = \int \tan(x + C_1),dx - \int x,dx. y = integral l(tan(x + C1) - xr),dxí
y(x) = -\ln\bigl|\cos(x + C_1)\bigr| - \frac{x^2}{2} + C_2.
$$

Resposta

y(x) = -lnl|cos(x + C1)r| - tfracx^22 + C2

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