Resolva
Passo 1
Resumo do enunciado: temos uma equação diferencial de segunda ordem dada por
. O conteúdo aqui é redução de ordem em EDOs e separação de variáveis. Vamos definir
para transformar em uma EDO de primeira ordem e depois integrar duas vezes.
Passo 2
Definição de
: seja
. Então
e a equação fica:
Mudança de variável: vamos definir
Separação de variáveis e integração:
Integrando ambos os lados:
obtemos
Voltando à variável
logo
$$
p = y’ = \tan(x + C_1) - x.
y = \int \bigl(\tan(x + C_1) - x\bigr),dx.
y = \int \tan(x + C_1),dx - \int x,dx.
y(x) = -\ln\bigl|\cos(x + C_1)\bigr| - \frac{x^2}{2} + C_2.
$$