Uma película de sabão ( n_{\text {sab\#o }}=1,35 ) é observada no ar. Qual é a menor espessura não nula \left(t_{\text {min }}\right) da película para que haja interferência totalmente destrutiva para a luz refletida \operatorname{com} \lambda=540 \mathrm{~nm} (no vácuo)?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar os dados exatamente como vieram):
  • Índice de refração da película de sabão: n_{\text{sabão}}=1,35ã.
  • Meio externo: ar (portanto, índice aproximado n_{\text{ar}}\approx1,00).
  • Comprimento de onda da luz no vácuo: \lambda_0=540\\ \mathrm{nm}.
  • Pergunta: determinar a menor espessura não nula \,t_{\text{min}}\, da película para que a luz refletida sofra interferência totalmente destrutiva.

Passo 2

Entendendo o que ocorre fisicamente (aulas rápidas e simples, como se eu estivesse explicando num quadro):
  • A luz incide sobre a película; há duas reflexões principais que interferem no feixe refletido: uma na face superior (ar → sabão) e outra na face inferior (sabão → ar).
  • Reflexões podem sofrer mudança de fase de \pi (meia-onda) dependendo da relação entre índices. Regra prática fácil:
    • Quando a luz reflete numa interface indo de um meio com índice menor para um com índice maior (por exemplo ar \to sabão), a reflexão sofre uma inversão de fase de \pi.
    • Quando a luz reflete indo de um meio mais denso para um menos denso (por exemplo sabão \to ar), NÃO há inversão de fase.
  • Aqui: na face superior (ar \to sabão) há inversão de fase ( \pi); na face inferior (sabão \to ar) não há. Logo, as duas ondas refletidas têm uma diferença fixa de fase de \pi apenas por causa das inversões, além da diferença de fase acumulada ao viajar dentro da película.

Passo 3

Comprimento de onda dentro do sabão e relação com o vácuo:
  • A luz tem comprimento de onda menor dentro da película. A fórmula é
\lambda_{\text{filme}}=\frac{\lambda_0}{n},
onde \lambda_0 é o comprimento de onda no vácuo (ou ar) e n é o índice do filme.
  • Substituindo os símbolos que temos:
\lambda_{\text{sabão}}=\frac{\lambda_0}{n_{\text{sabão}}}.ãã

Passo 4

Diferença de fase entre as duas ondas refletidas:
  • A onda que reflete na face inferior percorre a película para dentro e volta, viajando distância adicional 2t dentro do filme. Isso gera uma diferença de fase dada por
\Delta\phi_{\text{prop}}=\frac{2\pi}{\lambda_{\text{sabão}}}\cdot 2t=\frac{4\pi n_{\text{sabão}} t}{\lambda_0}.ãã
  • Além disso há a diferença de fase fixa de \pi devido à inversão apenas na reflexão superior. Assim a diferença de fase total entre as duas reflexões é
\Delta\phi_{\text{total}}=\frac{4\pi n_{\text{sabão}} t}{\lambda_0}+\pi.ã

Passo 5

Condição para interferência totalmente destrutiva (no feixe refletido):
  • Duas ondas se anulam (interferência destrutiva) quando sua diferença de fase é um número ímpar de \pi, isto é
\Delta\phi_{\text{total}}=(2m+1)\pi,\qquad m=0,1,2,\dots
  • Substituindo \Delta\phi_{\text{total}}:
\frac{4\pi n_{\text{sabão}} t}{\lambda_0}+\pi=(2m+1)\pi.ã
  • Subtraindo \pi de ambos os lados e simplificando:
\frac{4\pi n_{\text{sabão}} t}{\lambda_0}=2m\pi \quad\Rightarrow\quad \frac{4 n_{\text{sabão}} t}{\lambda_0}=2m \quad\Rightarrow\quad 2 n_{\text{sabão}} t = m\lambda_0.ããã
  • Portanto as espessuras que dão destruição no reflexo são
t=\frac{m\lambda_0}{2 n_{\text{sabão}}},\qquad m=0,1,2,\dotsã

Passo 6

Escolhendo a menor espessura não nula:
  • O caso m=0 t=0, que é a solução trivial nula. Então a menor espessura não nula corresponde a m=1:
t_{\text{min}}=\frac{1\cdot\lambda_0}{2 n_{\text{sabão}}}=\frac{\lambda_0}{2 n_{\text{sabão}}}.ãã
  • Agora substituímos numericamente: \lambda_0=540\\ \mathrm{nm} e n_{\text{sabão}}=1,35ã:
t_{\text{min}}=\frac{540\\ \mathrm{nm}}{2\cdot 1,35}=\frac{540}{2{,}7}\\ \mathrm{nm}=200\\ \mathrm{nm}.

Passo 7

Comentário final prático e dica de prova:
  • Fórmula útil para lembrar (quando há inversão numa só das reflexões): mínimos de reflexão em t=m\lambda_0/(2n).
  • No exame, sempre verifique qual reflexão sofre inversão de fase (compare índices), porque isso muda as condições de máximo/mínimo.

Resposta

t_{\text{min}}=200\\ \mathrm{nm}

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