Um filme fino (índice de refração
) está sobre uma placa de vidro (
). O filme é iluminado por luz branca que incide perpendicularmente. Qual é a condição para que a luz refletida sofra interferência totalmente construtiva?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado (sem resolver ainda):
- Pedido: determinar a condição para que a luz refletida pelo filme sofra interferência totalmente construtiva.
- Dados fornecidos:
- Índice de refração do filme:
. - Índice de refração do vidro (substraato):
. - Incidência: luz branca incidindo perpendicularmente ao filme (incidência normal).
- Índice de refração do filme:
- Observação importante: “luz branca” significa que há várias comprimentos de onda presentes; a condição que vamos obter vale para cada comprimento de onda individualmente — apenas as cores (comprimentos de onda) que satisfizerem a condição serão reforçadas na reflexão.
Passo 2
Entendendo os dois raios refletidos que interferem — descrição física e como pensar no problema:
Quando a luz incide sobre o filme fino, as principais contribuições para a luz refletida vêm de duas reflexões:
- Reflexão na face superior (ar
filme). - Reflexão na face inferior (filme
vidro).
Esses dois raios viajam caminhos diferentes dentro do filme e podem ter mudanças de fase ao refletir. A interferência entre eles depende da diferença total de fase entre eles (diferença de fase por caminho + eventuais mudanças de fase nas reflexões). Nosso trabalho: calcular essa diferença de fase e encontrar a condição para que ela seja um múltiplo inteiro de
(isto é, construtiva).
Passo 3
Regras de mudança de fase ao refletir e aplicação aos dois limites:
Regra prática (muito usada em filmes finos):
- Quando uma onda reflete numa interface indo de um meio com índice
para um meio com índice maior , a onda refletida sofre uma mudança de fase de (equivalente a meio comprimento de onda). - Quando reflete indo para um meio de índice menor, não há mudança de fase (fase zero).
Aqui:
- No topo: ar (
) para filme ( ) → reflexão com mudança de fase . - Na base: filme (
) para vidro ( ) → reflexão também com mudança de fase .
Conclusão desta etapa: cada reflexão individual introduz
, então as duas mudanças de fase somadas são
, que é equivalente a zero (múltiplo de
). Logo, para este caso os saltos de fase por reflexão não afetam a condição (eles se cancelam módulo
). Então a condição de interferência passa a depender apenas da diferença de caminho óptico dentro do filme.
Passo 4
Cálculo da diferença de caminho óptico para incidência normal:
- Seja
a espessura do filme. - A luz que entra no filme, reflete na face inferior e volta percorre dentro do filme um caminho extra de ida e volta, ou seja comprimento geométrico
. - No meio material, a velocidade é menor e o comprimento de onda é reduzido; assim usa-se a noção de caminho óptico: o caminho óptico = índice
caminho geométrico. Portanto a diferença de caminho óptico entre os dois raios é
- Relacionando com fase: uma diferença de caminho óptico
corresponde a uma diferença de fase
onde
é o comprimento de onda da luz no ar (vacuum) — isto é, o comprimento de onda “da fonte” que veremos selecionado na reflexão.
Passo 5
Condição matemática para interferência construtiva:
- Interferência construtiva completa (máximo total) acontece quando a diferença de fase total entre os dois raios é um múltiplo inteiro de
:
- Como já vimos, as mudanças de fase por reflexão somaram
(equivalente a zero), então só resta a contribuição do caminho. Substituindo:
- Simplificando, obtemos a condição em termos de espessura:
Passo 6
Interpretação e comentário prático (um empurrãozinho motivador):
- Essa fórmula diz: para cada comprimento de onda
presente na luz branca, haverá interferência construtiva na reflexão se a espessura satisfizer . - Em particular, o menor espessura não-trivial (primeira ordem,
) que produz máximo para um dado é
- Como a luz é branca, diferentes
satisfazem a condição para diferentes valores de . Na prática vê-se reflexão reforçada de algumas cores específicas dependendo da espessura do filme — por isso filmes finos coloridos aparecem com cores diferentes. - Exemplo rápido (só pra fixar): para
e , a primeira ordem dá