Um filme fino (índice de refração n_{\text {filme }}=1,40 ) está sobre uma placa de vidro ( n_{\text {vidro }}=1,50 ). O filme é iluminado por luz branca que incide perpendicularmente. Qual é a condição para que a luz refletida sofra interferência totalmente construtiva?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado (sem resolver ainda):
  • Pedido: determinar a condição para que a luz refletida pelo filme sofra interferência totalmente construtiva.
  • Dados fornecidos:
    • Índice de refração do filme: n_{\text{filme}}=1,40.
    • Índice de refração do vidro (substraato): n_{\text{vidro}}=1,50.
    • Incidência: luz branca incidindo perpendicularmente ao filme (incidência normal).
  • Observação importante: “luz branca” significa que há várias comprimentos de onda presentes; a condição que vamos obter vale para cada comprimento de onda individualmente — apenas as cores (comprimentos de onda) que satisfizerem a condição serão reforçadas na reflexão.

Passo 2

Entendendo os dois raios refletidos que interferem — descrição física e como pensar no problema:
Quando a luz incide sobre o filme fino, as principais contribuições para a luz refletida vêm de duas reflexões:
  1. Reflexão na face superior (ar \to filme).
  2. Reflexão na face inferior (filme \to vidro).
Esses dois raios viajam caminhos diferentes dentro do filme e podem ter mudanças de fase ao refletir. A interferência entre eles depende da diferença total de fase entre eles (diferença de fase por caminho + eventuais mudanças de fase nas reflexões). Nosso trabalho: calcular essa diferença de fase e encontrar a condição para que ela seja um múltiplo inteiro de 2\pi (isto é, construtiva).

Passo 3

Regras de mudança de fase ao refletir e aplicação aos dois limites:
Regra prática (muito usada em filmes finos):
  • Quando uma onda reflete numa interface indo de um meio com índice n_1 para um meio com índice maior n_2>n_1, a onda refletida sofre uma mudança de fase de \pi (equivalente a meio comprimento de onda).
  • Quando reflete indo para um meio de índice menor, não há mudança de fase (fase zero).
Aqui:
  • No topo: ar ( n_{\text{ar}}\approx1,00) para filme ( n_{\text{filme}}=1,40) → reflexão com mudança de fase \pi.
  • Na base: filme ( 1,40) para vidro ( 1,50) → reflexão também com mudança de fase \pi.
Conclusão desta etapa: cada reflexão individual introduz \pi, então as duas mudanças de fase somadas são \pi+\pi=2\pi, que é equivalente a zero (múltiplo de 2\pi). Logo, para este caso os saltos de fase por reflexão não afetam a condição (eles se cancelam módulo 2\pi). Então a condição de interferência passa a depender apenas da diferença de caminho óptico dentro do filme.

Passo 4

Cálculo da diferença de caminho óptico para incidência normal:
  • Seja t a espessura do filme.
  • A luz que entra no filme, reflete na face inferior e volta percorre dentro do filme um caminho extra de ida e volta, ou seja comprimento geométrico 2t.
  • No meio material, a velocidade é menor e o comprimento de onda é reduzido; assim usa-se a noção de caminho óptico: o caminho óptico = índice \times caminho geométrico. Portanto a diferença de caminho óptico entre os dois raios é
\Delta = 2\,n_{\text{filme}}\,t.
  • Relacionando com fase: uma diferença de caminho óptico \Delta corresponde a uma diferença de fase
\Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta = \frac{2\pi}{\lambda}\, (2\,n_{\text{filme}}\,t),
onde \lambda é o comprimento de onda da luz no ar (vacuum) — isto é, o comprimento de onda “da fonte” que veremos selecionado na reflexão.

Passo 5

Condição matemática para interferência construtiva:
  • Interferência construtiva completa (máximo total) acontece quando a diferença de fase total entre os dois raios é um múltiplo inteiro de 2\pi:
\Delta\varphi = 2\pi m,\qquad m=0,1,2,\dots
  • Como já vimos, as mudanças de fase por reflexão somaram 2\pi (equivalente a zero), então só resta a contribuição do caminho. Substituindo:
\frac{2\pi}{\lambda}\,(2\,n_{\text{filme}}\,t)=2\pi m.
  • Simplificando, obtemos a condição em termos de espessura:
2\,n_{\text{filme}}\,t = m\,\lambda,\qquad m=0,1,2,\dots

Passo 6

Interpretação e comentário prático (um empurrãozinho motivador):
  • Essa fórmula diz: para cada comprimento de onda \lambda presente na luz branca, haverá interferência construtiva na reflexão se a espessura t satisfizer t = \dfrac{m\lambda}{2 n_{\text{filme}}}.
  • Em particular, o menor espessura não-trivial (primeira ordem, m=1) que produz máximo para um dado \lambda é
t=\frac{\lambda}{2 n_{\text{filme}}}.
  • Como a luz é branca, diferentes \lambda satisfazem a condição para diferentes valores de t. Na prática vê-se reflexão reforçada de algumas cores específicas dependendo da espessura do filme — por isso filmes finos coloridos aparecem com cores diferentes.
  • Exemplo rápido (só pra fixar): para \lambda=600\\ \text{nm} e n_{\text{filme}}=1{,}40, a primeira ordem dá
t=\frac{600\\ \text{nm}}{2\cdot1{,}40}\approx214{,}3\\ \text{nm}.

Resposta

2\,n_{\text{filme}}\,t = m\,\lambda,\quad m=0,1,2,\dots

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