Uma película uniforme de cargas de densidade
está localizada no plano
. Outra película cuja densidsade vale
está localizada no plano
m . Sendo os pontos A, B e C, localizados, respectivamente, em
e
, determine as diferenças de potencial elétrico
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas películas infinitas de carga (densidades superficiais constantes) e pede diferenças de potencial entre pontos situados ao longo do eixo
.
Informações dadas:
As películas estão nos planos
(com
) e
(com
).
Os pontos são:
Os pontos são:
O que se pede:
Passo 2
Fórmula útil (elementar) e interpretação física: o campo elétrico produzido por uma película infinita com densidade superficial
tem módulo
em cada lado da folha, e a direção é “para fora” da folha se
e “para dentro” (ou seja, em direção à folha) se
. Aqui
é a permissividade do vácuo (constante):
Explicando com calma: cada folha cria um campo uniforme (independente da distância) em seus dois lados; o sinal de
determina se o campo aponta para longe ou para perto da folha.
Passo 3
Vamos escrever o campo gerado por cada folha em função da coordenada
, tomando a direção positiva do eixo
como
.
-
Folha em
com : - para
: (aponta para +x) - para
:
- para
-
Folha em
com (campo aponta para a folha): - para
: (aponta para +x, pois para a esquerda da folha o campo aponta para a direita) - para
:
- para
Observação sobre sinais: como
é negativo, podemos usar
quando for conveniente.
Passo 4
Somamos os campos das duas folhas em cada região (região à esquerda de
, entre
e à direita de
).
Região
:
Região
:
Região
:
Passo 5
Agora usamos os valores numéricos de
e
. Como
, vemos simplificações:
- Para
:
logo
.
- Para
:
logo
- Para
:
logo
.
Conclusão física prática: fora das duas folhas o campo é nulo; entre as folhas há um campo uniforme apontando para
de módulo
.
Passo 6
Calcular diferenças de potencial: a diferença de potencial entre dois pontos sobre o eixo
é
onde
é a componente do campo na direção
. Aqui o campo é zero fora das folhas e constante
entre
e
.
Observação importante: o potencial é contínuo mesmo atravessando uma folha; a folha produz salto no campo, não no potencial (para película infinitamente fina).
Passo 7
Calcule
. Os pontos têm coordenadas
e
. O caminho de
a
fica inteiramente na região
, onde
. Então
Substituindo
,
Passo 8
Calcule
. Aqui
e
, o caminho está também entre as folhas:
Passo 9
Calcule
. Podemos somar os anteriores ou integrar direto de
a
:
Verificação:
(adição de diferenças de potencial).
Passo 10
Agora números. Primeiro o campo entre as placas:
Usando isso: