Uma película uniforme de cargas de densidade \sigma_{0}=\frac{1}{6 \pi} \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2} está localizada no plano x=0. Outra película cuja densidsade vale \sigma_{10}=-\frac{1}{6 \pi} \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2} está localizada no plano x=10 m . Sendo os pontos A, B e C, localizados, respectivamente, em (10,0,0),(4,0,0) e (0,0,0), determine as diferenças de potencial elétrico V_{A B}, V_{B C} e V_{A C}.

Passo 1

O enunciado dá duas películas infinitas de carga (densidades superficiais constantes) e pede diferenças de potencial entre pontos situados ao longo do eixo x.
Informações dadas:
\sigma_{0}=\frac{1}{6\pi}\\ \mathrm{nC/m^{2}}=\frac{1}{6\pi}\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}}
\sigma_{10}=-\frac{1}{6\pi}\\ \mathrm{nC/m^{2}}=-\frac{1}{6\pi}\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}}
As películas estão nos planos x=0 (com \sigma_0) e x=10\\ \mathrm{m} (com \sigma_{10}).
Os pontos são:
A=(10,0,0),\qquad B=(4,0,0),\qquad C=(0,0,0).
O que se pede:
  • V_{AB}=V(A)-V(B)
  • V_{BC}=V(B)-V\text{(C)}
  • V_{AC}=V(A)-V\text{(C)}

Passo 2

Fórmula útil (elementar) e interpretação física: o campo elétrico produzido por uma película infinita com densidade superficial \sigma tem módulo
E_{\text{folha}}=\frac{|\sigma|}{2\varepsilon_{0}}
em cada lado da folha, e a direção é “para fora” da folha se \sigma>0 e “para dentro” (ou seja, em direção à folha) se \sigma<0. Aqui \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo (constante):
\varepsilon_{0}=8,854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Explicando com calma: cada folha cria um campo uniforme (independente da distância) em seus dois lados; o sinal de \sigma determina se o campo aponta para longe ou para perto da folha.

Passo 3

Vamos escrever o campo gerado por cada folha em função da coordenada x, tomando a direção positiva do eixo x como +\hat{x}.
  • Folha em x=0 com \sigma_{0}>0:
    • para x>0: \vec{E}_{0}=+\dfrac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\,\hat{x} (aponta para +x)
    • para x<0: \vec{E}_{0}=-\dfrac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\,\hat{x}
  • Folha em x=10 com \sigma_{10}<0 (campo aponta para a folha):
    • para x<10: \vec{E}_{10}=+\dfrac{|\sigma_{10}|}{2\varepsilon_{0}}\,\hat{x} (aponta para +x, pois para a esquerda da folha o campo aponta para a direita)
    • para x>10: \vec{E}_{10}=-\dfrac{|\sigma_{10}|}{2\varepsilon_{0}}\,\hat{x}
Observação sobre sinais: como \sigma_{10} é negativo, podemos usar |\sigma_{10}|=-\sigma_{10} quando for conveniente.

Passo 4

Somamos os campos das duas folhas em cada região (região à esquerda de x=0, entre 0<x<10 e à direita de x=10).
Região x<0:
\vec{E}=\vec{E}_{0}+\vec{E}_{10}=-\frac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\hat{x}+\frac{|\sigma_{10}|}{2\varepsilon_{0}}\hat{x} =\frac{-\sigma_{0}-\sigma_{10}}{2\varepsilon_{0}}\hat{x}.
Região 0<x<10:
\vec{E}=\frac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\hat{x}+\frac{|\sigma_{10}|}{2\varepsilon_{0}}\hat{x} =\frac{\sigma_{0}-\sigma_{10}}{2\varepsilon_{0}}\hat{x}.
Região x>10:
\vec{E}=\frac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\hat{x}-\frac{|\sigma_{10}|}{2\varepsilon_{0}}\hat{x} =\frac{\sigma_{0}+\sigma_{10}}{2\varepsilon_{0}}\hat{x}.

Passo 5

Agora usamos os valores numéricos de \sigma_{0} e \sigma_{10}. Como \sigma_{10}=-\sigma_{0}, vemos simplificações:
  • Para x<0:
-\sigma_{0}-\sigma_{10}=-(\sigma_{0}+\sigma_{10})=-(\sigma_{0}-\sigma_{0})=0,
logo \vec{E}=\vec{0}.
  • Para 0<x<10:
\sigma_{0}-\sigma_{10}=\sigma_{0}-(-\sigma_{0})=2\sigma_{0},
logo
\vec{E}=\frac{2\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\hat{x}=\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}}\hat{x}.
  • Para x>10:
\sigma_{0}+\sigma_{10}=\sigma_{0}-\sigma_{0}=0,
logo \vec{E}=\vec{0}.
Conclusão física prática: fora das duas folhas o campo é nulo; entre as folhas há um campo uniforme apontando para +\hat{x} de módulo \dfrac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}}.

Passo 6

Calcular diferenças de potencial: a diferença de potencial entre dois pontos sobre o eixo x é
V(x_2)-V(x_1)=-\int_{x_1}^{x_2} E_x(x)\,dx,
onde E_x é a componente do campo na direção +\hat{x}. Aqui o campo é zero fora das folhas e constante \dfrac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}} entre 0 e 10.
Observação importante: o potencial é contínuo mesmo atravessando uma folha; a folha produz salto no campo, não no potencial (para película infinitamente fina).

Passo 7

Calcule V_{AB}=V(A)-V(B). Os pontos têm coordenadas x_A=10 e x_B=4. O caminho de B a A fica inteiramente na região 0<x<10, onde E_x=\dfrac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}}. Então
V(A)-V(B)=-\int_{x_B}^{x_A}\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}}\,dx =-\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}}\,(x_A-x_B).
Substituindo x_A-x_B=10-4=6\\ \mathrm{m},
V_{AB}=-\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}}\cdot6.

Passo 8

Calcule V_{BC}=V(B)-V\text{(C)}. Aqui x_B=4 e x_C=0, o caminho está também entre as folhas:
V(B)-V\text{(C)}=-\int_{0}^{4}\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}}\,dx =-\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}}\cdot4.

Passo 9

Calcule V_{AC}=V(A)-V\text{(C)}. Podemos somar os anteriores ou integrar direto de 0 a 10:
V(A)-V\text{(C)}=-\int_{0}^{10}\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}}\,dx =-\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}}\cdot10.
Verificação: V_{AC}=V_{AB}+V_{BC} (adição de diferenças de potencial).

Passo 10

Agora números. Primeiro o campo entre as placas:
E=\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}} =\frac{\dfrac{1}{6\pi}\times10^{-9}}{8,854\times10^{-12}} \approx 6,0\\ \mathrm{V/m}.
Usando isso:
V_{AB}=-E\cdot6\\ \mathrm{m}\approx -6,0\times6=-36\\ \mathrm{V},
V_{BC}=-E\cdot4\\ \mathrm{m}\approx -6,0\times4=-24\\ \mathrm{V},
V_{AC}=-E\cdot10\\ \mathrm{m}\approx -6,0\times10=-60\\ \mathrm{V}.

Resposta

V_{AB}=-36\\ \mathrm{V}
V_{BC}=-24\\ \mathrm{V}
V_{AC}=-60\\ \mathrm{V}

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