Num sistema de coordenadas cilíndricas, tem-se os vetores campo elétrico \vec{E}=\frac{5}{r} \hat{r}(\mathrm{SI}), para 0 \leq r \leq 2 \mathrm{~m} e \vec{E}=2,5 \hat{r} (SI), para r>2 \mathrm{~m}. Encontre a ddp entre os pontos A e B localizados, respectivamente, em (1,0,0) e (4,0,0).
Passo 1
O enunciado dá um campo elétrico radial, em coordenadas cilíndricas, e pede a diferença de potencial (ddp) entre dois pontos. Dados e pedidos explicitados:
Campo elétrico para 0 \le r \le 2\:\mathrm{m}: \vec{E}=\dfrac{5}{r}\,\hat{r} (unidades SI). Peguei esse valor do enunciado.
Campo elétrico para r>2\:\mathrm{m}: \vec{E}=2,5\,\hat{r} (unidades SI). Peguei esse valor do enunciado.
Posição do ponto A: (1,0,0) em coordenadas cilíndricas, ou seja r_A=1\:\mathrm{m}, \varphi_A=0, z_A=0. Peguei esses dados do enunciado.
Posição do ponto B: (4,0,0) em coordenadas cilíndricas, ou seja r_B=4\:\mathrm{m}, \varphi_B=0, z_B=0. Peguei esses dados do enunciado.
Pedido: encontrar a diferença de potencial entre A e B. Vou calcular \;V(B)-V(A)\; usando a convenção usual abaixo (esclareço no próximo passo).
Passo 2
Defino a convenção que vou usar, e explico a fórmula física básica.
Diferença de potencial entre A e B: \;V(B)-V(A)\;=\; -\displaystyle\int_{A}^{B}\vec{E}\cdot d\vec{\ell}.
Aqui \vec{E} é o campo elétrico (\mathrm{V/m}).
d\vec{\ell} é o elemento infinitesimal de deslocamento ao longo do caminho de integração (em metros).
O produto escalar \vec{E}\cdot d\vec{\ell} dá a componente do campo na direção do deslocamento.
Essa fórmula vem da definição de potencial elétrico: o trabalho por unidade de carga realizado pelo campo ao ir de A a B com sinal trocado.
Passo 3
Escolha do caminho e simplificação do produto escalar.
Como A e B têm o mesmo \varphi e mesmo z, podemos ir radialmente de r=1 até r=4. O campo é radial \vec{E}=E(r)\,\hat r e o deslocamento no percurso radial é d\vec{\ell}=dr\,\hat r.