Num sistema de coordenadas cilíndricas, tem-se os vetores campo elétrico \vec{E}=\frac{5}{r} \hat{r}(\mathrm{SI}), para 0 \leq r \leq 2 \mathrm{~m} e \vec{E}=2,5 \hat{r} (SI), para r>2 \mathrm{~m}. Encontre a ddp entre os pontos A e B localizados, respectivamente, em (1,0,0) e (4,0,0).

Passo 1

O enunciado dá um campo elétrico radial, em coordenadas cilíndricas, e pede a diferença de potencial (ddp) entre dois pontos. Dados e pedidos explicitados:
  • Campo elétrico para 0 \le r \le 2\:\mathrm{m}: \vec{E}=\dfrac{5}{r}\,\hat{r} (unidades SI). Peguei esse valor do enunciado.
  • Campo elétrico para r>2\:\mathrm{m}: \vec{E}=2,5\,\hat{r} (unidades SI). Peguei esse valor do enunciado.
  • Posição do ponto A: (1,0,0) em coordenadas cilíndricas, ou seja r_A=1\:\mathrm{m}, \varphi_A=0, z_A=0. Peguei esses dados do enunciado.
  • Posição do ponto B: (4,0,0) em coordenadas cilíndricas, ou seja r_B=4\:\mathrm{m}, \varphi_B=0, z_B=0. Peguei esses dados do enunciado.
  • Pedido: encontrar a diferença de potencial entre A e B. Vou calcular \;V(B)-V(A)\; usando a convenção usual abaixo (esclareço no próximo passo).

Passo 2

Defino a convenção que vou usar, e explico a fórmula física básica.
  • Diferença de potencial entre A e B: \;V(B)-V(A)\;=\; -\displaystyle\int_{A}^{B}\vec{E}\cdot d\vec{\ell}.
    • Aqui \vec{E} é o campo elétrico ( \mathrm{V/m}).
    • d\vec{\ell} é o elemento infinitesimal de deslocamento ao longo do caminho de integração (em metros).
    • O produto escalar \vec{E}\cdot d\vec{\ell} dá a componente do campo na direção do deslocamento.
  • Essa fórmula vem da definição de potencial elétrico: o trabalho por unidade de carga realizado pelo campo ao ir de A a B com sinal trocado.

Passo 3

Escolha do caminho e simplificação do produto escalar.
  • Como A e B têm o mesmo \varphi e mesmo z, podemos ir radialmente de r=1 até r=4. O campo é radial \vec{E}=E(r)\,\hat r e o deslocamento no percurso radial é d\vec{\ell}=dr\,\hat r.
  • Portanto \vec{E}\cdot d\vec{\ell}=E(r)\,dr.
  • Logo V(B)-V(A) = -\int_{r_A}^{r_B} E(r)\,dr = -\int_{1}^{4} E(r)\,dr.

Passo 4

Observação sobre a dependência em r (peças do integral).
  • O campo E(r) é definido por partes:
    • para 1\le r\le 2: E(r)=\dfrac{5}{r} (pegado do enunciado);
    • para 2\le r\le 4: E(r)=2,5 (pegado do enunciado).
  • Assim dividimos a integral: V(B)-V(A) = -\left(\int_{1}^{2}\frac{5}{r}\,dr + \int_{2}^{4}2{,}5\,dr\right).

Passo 5

Calculo do primeiro integral \displaystyle\int_{1}^{2}\frac{5}{r}\,dr.
  • A primitiva de \dfrac{1}{r} é \ln r. Assim a primitiva de \dfrac{5}{r} é 5\ln r.
  • Portanto \int_{1}^{2}\frac{5}{r}\,dr = 5\ln r\Big|_{1}^{2} = 5(\ln 2 - \ln 1).
  • Como \ln 1=0, obtemos \int_{1}^{2}\frac{5}{r}\,dr = 5\ln 2.

Passo 6

Calculo do segundo integral \displaystyle\int_{2}^{4}2{,}5\,dr.
  • A primitiva de uma constante 2{,}5 em relação a r é 2{,}5\,r.
  • Portanto \int_{2}^{4}2{,}5\,dr = 2{,}5\,r\Big|_{2}^{4} = 2{,}5(4-2) = 2{,}5\cdot 2 = 5.

Passo 7

Juntando os dois resultados na fórmula da ddp.
  • Substituindo em V(B)-V(A) = -\left( \int_{1}^{2}\frac{5}{r}\,dr + \int_{2}^{4}2{,}5\,dr \right),temos V(B)-V(A) = -\big(5\ln 2 + 5\big).
  • Podemos fatorar 5: V(B)-V(A) = -5\big(\ln 2 + 1\big).

Passo 8

Avaliação numérica e interpretação física.
  • Valor numérico aproximado: \ln 2 \approx 0{,}693147. Logo \ln 2 + 1 \approx 1{,}693147.
  • Multiplicando por -5: V(B)-V(A) \approx -5 \times 1{,}693147 \approx -8{,}465735\\ \mathrm{V}.
  • Arredondando, V(B)-V(A)\approx -8{,}466\\ \mathrm{V}.
  • Interpretação: o potencial em B é cerca de 8{,}466\\ \mathrm{V} menor que em A. O sinal negativo indica queda de potencial ao ir de A para B.

Resposta

V(B)-V(A)=-5\big(\ln 2 + 1\big)\approx -8{,}466\\ \mathrm{V}

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