Calcule a energia armazenada num sistema de três cargas puntiformes iguais a Q=2 \mathrm{nC}, arrajadas numa linha e com separação de 0,5 \mathrm{~m} entre elas. Considere o meio o vácuo.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a energia armazenada num sistema formado por três cargas puntiformes idênticas. As informações dadas são:
  • cada carga vale Q=2\\ \mathrm{nC};
  • as três cargas estão alinhadas, com separação de 0{,}5\\ \mathrm{m} entre cargas consecutivas;
  • o meio é o vácuo (permite usar \varepsilon_0 ou a constante k=1/(4\pi\varepsilon_0));
  • pergunta: qual a energia eletrostática total armazenada no sistema (em joules).
Dados explícitos extraídos do enunciado:
Q=2\times10^{-9}\\ \mathrm{C},\qquad r_{12}=0{,}5\\ \mathrm{m},\qquad r_{23}=0{,}5\\ \mathrm{m}.
A distância entre as cargas extremas é r_{13}=r_{12}+r_{23}=1{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Fórmula que usamos e porquê (explicação didática e passo a passo):
  • A energia potencial eletrostática de um sistema de cargas puntiformes é a soma das contribuições de cada par de cargas, porque as interações elétricas são pairwise (duas a duas) e obedecem ao princípio da superposição.
  • Para duas cargas q_i e q_j separadas por distância r_{ij}, a energia potencial do par é
U_{ij}= \frac{k\,q_i q_j}{r_{ij}}.
Aqui:
  • U_{ij} é a energia (em joules) associada ao par (i,j);
  • q_i,q_j são as cargas (em coulombs);
  • r_{ij} é a distância entre elas (em metros);
  • k é a constante eletrostática no vácuo, dada por
k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},
com \varepsilon_0 sendo a permissividade do vácuo.
  • Para o sistema todo somamos todos os pares i<j:
U=\sum_{i<j}\frac{k\,q_i q_j}{r_{ij}}.
Comentário intuitivo: ao montar o sistema trazendo cargas do infinito, o trabalho necessário (energia armazenada) é a soma dos trabalhos feitos contra os campos gerados pelas cargas já colocadas — isso leva exatamente à soma acima.

Passo 3

Aplicando ao caso de três cargas iguais ( q_1=q_2=q_3=Q). Existem três pares: (1,2), (2,3) e (1,3). Logo:
U=\frac{k\,Q^2}{r_{12}}+\frac{k\,Q^2}{r_{23}}+\frac{k\,Q^2}{r_{13}}.
Como r_{12}=r_{23}=0{,}5\\ \mathrm{m} e r_{13}=1{,}0\\ \mathrm{m}, substituímos:
U=kQ^2\left(\frac{1}{0{,}5}+\frac{1}{0{,}5}+\frac{1}{1{,}0}\right).
Calculemos os termos dentro dos parênteses: \dfrac{1}{0{,}5}=2, então a soma é 2+2+1=5. Portanto a forma simplificada é
U=5\,k\,Q^2.

Passo 4

Agora substituímos valores numéricos e fazemos as conversões:
  • Q=2\\ \mathrm{nC}=2\times10^{-9}\\ \mathrm{C}, então
Q^2=(2\times10^{-9})^2=4\times10^{-18}\\ \mathrm{C}^2.
  • A constante k no vácuo vale aproximadamente
k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx8{,}987551787\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}.
Substituindo em U=5kQ^2 obtemos
U=5\cdot\bigl(8{,}987551787\times10^{9}\bigr)\cdot\bigl(4\times10^{-18}\bigr)\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Fazendo a conta passo a passo (controle de potências de 10 para não perder o raciocínio):
  • Primeiro calcule 5\cdot 4\times10^{-18}=20\times10^{-18}=2\times10^{-17}.
  • Então
U = \bigl(8{,}987551787\times10^{9}\bigr)\cdot\bigl(2\times10^{-17}\bigr).
  • Multiplicando os coeficientes e somando expoentes:
8{,}987551787\times2=17{,}975103574,
e 10^{9}\cdot10^{-17}=10^{-8}. Logo
U\approx17{,}975103574\times10^{-8}\\ \mathrm{J}=1{,}7975103574\times10^{-7}\\ \mathrm{J}.
Arredondando sensatamente (duas ou três cifras significativas) obtemos
U\approx1{,}80\times10^{-7}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Interpretação e unidade prática:
  • O valor é positivo, como esperado: cargas de mesmo sinal armazenam energia porque é preciso trabalho para colocá-las juntas (força de repulsão).
  • Em unidades mais usuais, isso corresponde a cerca de 0{,}180\\ \mu\mathrm{J} (já que 1\\ \mu\mathrm{J}=10^{-6}\\ \mathrm{J}).
  • Recapitulando o resultado calculado: U\approx1{,}80\times10^{-7}\\ \mathrm{J}. Força-te a memorizar a fórmula U=\sum_{i<j}kq_iq_j/r_{ij} — ela resolve todo esse tipo de exercício colocando as distâncias corretas.

Resposta

1{,}80\times10^{-7}\\ \mathrm{J}

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