(U. F. Pelotas-RS) Numa área reservada para o plantio de eucaliptos, o espaçamento das mudas - dispostas em fileiras - deve ser de
e a plantação deverá iniciar a uma distância de 1 m das extremidades do terreno. Baseado em seus conhecimentos e considerando que as fileiras tenham o mesmo número de mudas tanto na horizontal quanto na vertical, determine:
a quantidade máxima que pode ser plantada num terreno retangular, cujas medidas são
e
e cuja área é igual a
.
a quantidade máxima que pode ser plantada num terreno retangular, cujas medidas são
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O terreno é retangular com lados dados por
metros e metros. - A área do terreno vale
. - O espaçamento entre mudas, ao longo de cada fileira, é de
. - A plantação deve começar a uma distância de
das extremidades do terreno (isto é, há uma folga de em cada extremidade, em cada direção). - As fileiras terão o mesmo número de mudas tanto na horizontal quanto na vertical (ou seja, o número de plantas por linha no sentido do lado maior deve ser igual ao número de plantas por linha no sentido do outro lado).
O que se pede: - Determinar a quantidade máxima de mudas que pode ser plantada nesse terreno nas condições acima.
Passo 2
Resolver a equação para encontrar
e, assim, as dimensões do terreno.
A área é dada por
Expandindo,
Subtraindo
de ambos os lados,
Esta é uma equação quadrática. Calcula-se o discriminante
:
A raiz quadrada de
é
. Assim as raízes são
Isso dá
ou
. Como comprimento não pode ser negativo, tomamos
Passo 3
Calcular as dimensões do terreno usando
.
Passo 4
Determinar o comprimento efetivo disponível para colocar mudas em cada direção, considerando a folga de
em cada extremidade.
Se um lado tem comprimento
, a primeira muda fica em
da borda e a última também deve ficar a pelo menos
da outra borda. Portanto o comprimento útil para espaçar mudas é
Aplicando aos dois lados:
Passo 5
Encontrar a fórmula que dá o número de mudas que cabem em uma fileira ao longo de um comprimento útil
, com espaçamento
.
Se a primeira muda está em
e as seguintes a cada
, as posições são
A condição equivalente é
, ou seja
.
O número de mudas numa fileira é . Portanto, usando a função piso (arredondar para baixo),
O número de mudas numa fileira é
Explicando de modo mais simples: divide-se o comprimento útil pelo espaçamento para ver quantos intervalos cabem; o número de mudas é um a mais que o número de intervalos inteiros.
Pequeno exemplo didático: se
e espaçamento
, então
,
intervalos inteiros e
mudas na fileira (posições em
,
,
— note que a última fica exatamente a
da borda se couber).
Passo 6
Aplicar a fórmula aos dois lados do terreno.
Para o lado de
(comprimento útil
):
logo mudas por fileira nesse sentido:
Para o lado de
(comprimento útil
):
logo mudas por fileira nesse sentido:
Passo 7
Impor a condição do enunciado: “as fileiras tenham o mesmo número de mudas tanto na horizontal quanto na vertical”.
Isso significa que o número por fileira deve ser o mesmo nos dois sentidos. Cada direção tem um máximo possível (
e
). Para que sejam iguais escolhemos o maior número comum possível que não ultrapasse a capacidade de nenhum lado, ou seja
Não se pode usar
em ambas as direções porque o lado menor só suporta
mudas por fileira.
Passo 8
Calcular a quantidade total máxima de mudas quando há
mudas por fileira em cada direção.
Como há
mudas em cada fileira horizontal e
fileiras no sentido vertical (mesmo número), o total é