(U. F. Pelotas-RS) Numa área reservada para o plantio de eucaliptos, o espaçamento das mudas - dispostas em fileiras - deve ser de 2,5 \mathrm{~m} e a plantação deverá iniciar a uma distância de 1 m das extremidades do terreno. Baseado em seus conhecimentos e considerando que as fileiras tenham o mesmo número de mudas tanto na horizontal quanto na vertical, determine:
a quantidade máxima que pode ser plantada num terreno retangular, cujas medidas são \mathrm{x}+3 e \mathrm{x}+5 e cuja área é igual a 899 \mathrm{~m}^{2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O terreno é retangular com lados dados por (x+3) metros e (x+5) metros.
  • A área do terreno vale (x+3)(x+5)=899\\ \mathrm{m}^2.
  • O espaçamento entre mudas, ao longo de cada fileira, é de 2,5\\ \mathrm{m}.
  • A plantação deve começar a uma distância de 1\\ \mathrm{m} das extremidades do terreno (isto é, há uma folga de 1\\ \mathrm{m} em cada extremidade, em cada direção).
  • As fileiras terão o mesmo número de mudas tanto na horizontal quanto na vertical (ou seja, o número de plantas por linha no sentido do lado maior deve ser igual ao número de plantas por linha no sentido do outro lado).
    O que se pede:
  • Determinar a quantidade máxima de mudas que pode ser plantada nesse terreno nas condições acima.

Passo 2

Resolver a equação para encontrar x e, assim, as dimensões do terreno.
A área é dada por
(x+3)(x+5)=899.
Expandindo,
x^2+8x+15=899.
Subtraindo 899 de ambos os lados,
x^2+8x-884=0.
Esta é uma equação quadrática. Calcula-se o discriminante \Delta:
\Delta = 8^2 - 4\cdot1\cdot(-884)=64+3536=3600.
A raiz quadrada de \Delta é \sqrt{3600}=60. Assim as raízes são
x=\frac{-8\pm60}{2}.
Isso dá x=\dfrac{52}{2}=26 ou x=\dfrac{-68}{2}=-34. Como comprimento não pode ser negativo, tomamos
x=26.

Passo 3

Calcular as dimensões do terreno usando x=26.
\text{lado 1} = x+3 = 26+3 = 29\\ \mathrm{m},
\text{lado 2} = x+5 = 26+5 = 31\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Determinar o comprimento efetivo disponível para colocar mudas em cada direção, considerando a folga de 1\\ \mathrm{m} em cada extremidade.
Se um lado tem comprimento L, a primeira muda fica em 1\\ \mathrm{m} da borda e a última também deve ficar a pelo menos 1\\ \mathrm{m} da outra borda. Portanto o comprimento útil para espaçar mudas é
L_{\text{útil}} = L - 2.ú
Aplicando aos dois lados:
L_{1,\text{útil}} = 29-2 = 27\\ \mathrm{m},ú
L_{2,\text{útil}} = 31-2 = 29\\ \mathrm{m}.ú

Passo 5

Encontrar a fórmula que dá o número de mudas que cabem em uma fileira ao longo de um comprimento útil L_{\text{útil}}ú, com espaçamento \,2,5\\ \mathrm{m}.
Se a primeira muda está em 1\\ \mathrm{m} e as seguintes a cada 2,5\\ \mathrm{m}, as posições são
1,\\\ 1+2,5,\\\ 1+2\cdot2,5,\\ \dots,\\\ 1+k\cdot2,5\le L-1.
A condição equivalente é 1+k\cdot2,5\le L-1, ou seja k\le \dfrac{L-2}{2,5}.
O número de mudas numa fileira é k+1. Portanto, usando a função piso (arredondar para baixo),
\text{mudas\_por\_fileira} = \left\lfloor \frac{L_{\text{útil}}}{2,5} \right\rfloor + 1.ú
Explicando de modo mais simples: divide-se o comprimento útil pelo espaçamento para ver quantos intervalos cabem; o número de mudas é um a mais que o número de intervalos inteiros.
Pequeno exemplo didático: se L_{\text{útil}}=6\\ \mathrm{m}ú e espaçamento 2,5\\ \mathrm{m}, então 6\div2,5=2,4, \lfloor 2,4\rfloor=2 intervalos inteiros e 2+1=3 mudas na fileira (posições em 1, 3,5, 6 — note que a última fica exatamente a 1\\ \mathrm{m} da borda se couber).

Passo 6

Aplicar a fórmula aos dois lados do terreno.
Para o lado de 29\\ \mathrm{m} (comprimento útil 27\\ \mathrm{m}):
\left\lfloor \frac{27}{2,5} \right\rfloor = \left\lfloor 10,8 \right\rfloor = 10,
logo mudas por fileira nesse sentido:
n_1 = 10+1 = 11.
Para o lado de 31\\ \mathrm{m} (comprimento útil 29\\ \mathrm{m}):
\left\lfloor \frac{29}{2,5} \right\rfloor = \left\lfloor 11,6 \right\rfloor = 11,
logo mudas por fileira nesse sentido:
n_2 = 11+1 = 12.

Passo 7

Impor a condição do enunciado: “as fileiras tenham o mesmo número de mudas tanto na horizontal quanto na vertical”.
Isso significa que o número por fileira deve ser o mesmo nos dois sentidos. Cada direção tem um máximo possível ( n_1=11 e n_2=12). Para que sejam iguais escolhemos o maior número comum possível que não ultrapasse a capacidade de nenhum lado, ou seja
n = \min(n_1,n_2)=\min(11,12)=11.
Não se pode usar 12 em ambas as direções porque o lado menor só suporta 11 mudas por fileira.

Passo 8

Calcular a quantidade total máxima de mudas quando há n=11 mudas por fileira em cada direção.
Como há 11 mudas em cada fileira horizontal e 11 fileiras no sentido vertical (mesmo número), o total é
\text{total} = 11 \times 11 = 121\\ \text{mudas}.

Resposta

121 mudas

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