(U. F. Pelotas-RS) Numa área reservada para o plantio de eucaliptos, o espaçamento das mudas - dispostas em fileiras - deve ser de
e a plantação deverá iniciar a uma distância de 1 m das extremidades do terreno. Baseado em seus conhecimentos e considerando que as fileiras tenham o mesmo número de mudas tanto na horizontal quanto na vertical, determine:
a menor área e o menor perímetro do terreno para que haja o plantio de 289 mudas de eucalipto.
a menor área e o menor perímetro do terreno para que haja o plantio de 289 mudas de eucalipto.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede (sem resolver ainda).
- Espaçamento entre mudas (entre plantas consecutivas numa fileira):
. - Distância das mudas às extremidades do terreno (margem nas duas bordas de cada direção):
. - As mudas estão dispostas em fileiras formando um arranjo retangular com o mesmo número de mudas na horizontal e na vertical (ou seja, um arranjo quadrado).
- Número total de mudas a plantar:
.
O enunciado pede:
- Determinar a menor área do terreno que permite plantar as
mudas com as condições dadas. - Determinar o menor perímetro desse terreno.
Passo 2
Determinar quantas mudas há por fileira (número em cada direção), usando que o arranjo é quadrado.
Sejam
o número de mudas por fileira na horizontal e também na vertical. Como o arranjo é quadrado,
Precisamos achar
. Observando que
é um quadrado perfeito conhecido:
. Logo
Explicação curta: tirar raiz quadrada de um número perfeito como
dá
. Se não lembrar, pode fatorar ou testar quadrados próximos (
,
).
Passo 3
Montar a fórmula que dá a dimensão do terreno em uma direção (lado do retângulo/quadrado) a partir dos dados.
Considere uma direção (por exemplo a horizontal). Temos:
- duas margens de
(uma em cada extremidade), totalizando . - entre as
mudas há espaços, cada um de comprimento .
Portanto a medida do lado do terreno em uma direção é
Aqui:
-
é o comprimento do lado do terreno (em metros), - o primeiro termo
vem das duas margens, - o segundo termo
é a soma dos intervalos entre plantas.
Passo 4
Substituir
na fórmula e calcular passo a passo
.
Calcule primeiro
:
Calcule
sem calculadora, de forma clara:
Agora some as margens:
Portanto
Interpretação: o terreno precisa ter
em cada direção para comportar 17 mudas por fileira com os espaçamentos e margens dados.
Passo 5
Calcular a área mínima do terreno.
Como o arranjo é quadrado (mesma quantidade em ambas direções) e encontramos o lado
, a área é
Calcule
manualmente:
Logo
Passo 6
Calcular o perímetro mínimo do terreno.
Perímetro de um quadrado de lado
é
Substituindo
:
Portanto
Passo 7
Breve justificativa de por que esses valores são os “menores” possíveis dadas as condições.
- A condição “mesmo número de mudas na horizontal e na vertical” força que o arranjo seja
com , o que tem solução única inteira . Não há como reduzir porque então não haveria mudas suficientes. - Mantendo
e os espaçamentos/margens fixos, as dimensões do terreno calculadas em Passo 4 são as menores que acomodam exatamente as mudas nas posições especificadas (colocando a primeira muda a da borda e a última a da outra borda). Assim a área e o perímetro encontrados são os mínimos possíveis sob as restrições do problema.
Força aí — está pronto para decorar o raciocínio e aplicar em prova: conta a raiz, conta os intervalos
, soma as margens e multiplica.