(U. F. Pelotas-RS) Numa área reservada para o plantio de eucaliptos, o espaçamento das mudas - dispostas em fileiras - deve ser de 2,5 \mathrm{~m} e a plantação deverá iniciar a uma distância de 1 m das extremidades do terreno. Baseado em seus conhecimentos e considerando que as fileiras tenham o mesmo número de mudas tanto na horizontal quanto na vertical, determine:
a menor área e o menor perímetro do terreno para que haja o plantio de 289 mudas de eucalipto.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede (sem resolver ainda).
  • Espaçamento entre mudas (entre plantas consecutivas numa fileira): \,2,5\\ \text{m}.
  • Distância das mudas às extremidades do terreno (margem nas duas bordas de cada direção): \,1\\ \text{m}.
  • As mudas estão dispostas em fileiras formando um arranjo retangular com o mesmo número de mudas na horizontal e na vertical (ou seja, um arranjo quadrado).
  • Número total de mudas a plantar: \,289.
O enunciado pede:
  • Determinar a menor área do terreno que permite plantar as \,289 mudas com as condições dadas.
  • Determinar o menor perímetro desse terreno.

Passo 2

Determinar quantas mudas há por fileira (número em cada direção), usando que o arranjo é quadrado.
Sejam \,n o número de mudas por fileira na horizontal e também na vertical. Como o arranjo é quadrado,
n^2 = 289.
Precisamos achar \,n. Observando que \,289 é um quadrado perfeito conhecido: \,17\times17=289. Logo
n = 17.
Explicação curta: tirar raiz quadrada de um número perfeito como \,289 \,17. Se não lembrar, pode fatorar ou testar quadrados próximos ( 16^2=256, 17^2=289).

Passo 3

Montar a fórmula que dá a dimensão do terreno em uma direção (lado do retângulo/quadrado) a partir dos dados.
Considere uma direção (por exemplo a horizontal). Temos:
  • duas margens de \,1\\ \text{m} (uma em cada extremidade), totalizando \,2\\ \text{m}.
  • entre as \,n mudas há (n-1) espaços, cada um de comprimento \,2,5\\ \text{m}.
Portanto a medida do lado do terreno em uma direção é
L = 2\cdot 1 + 2,5\cdot (n-1).
Aqui:
  • \,L é o comprimento do lado do terreno (em metros),
  • o primeiro termo \,2\cdot1 vem das duas margens,
  • o segundo termo \,2,5\cdot(n-1) é a soma dos intervalos entre plantas.

Passo 4

Substituir \,n=17 na fórmula e calcular passo a passo \,L.
Calcule primeiro (n-1):
n-1 = 17-1 = 16.
Calcule \,2,5\cdot 16 sem calculadora, de forma clara:
2,5\cdot 16 = (2\cdot16) + (0,5\cdot16) = 32 + 8 = 40.
Agora some as margens:
L = 2\cdot1 + 40 = 2 + 40 = 42.
Portanto
L = 42\\ \text{m}.
Interpretação: o terreno precisa ter 42\\ \text{m} em cada direção para comportar 17 mudas por fileira com os espaçamentos e margens dados.

Passo 5

Calcular a área mínima do terreno.
Como o arranjo é quadrado (mesma quantidade em ambas direções) e encontramos o lado \,L=42\\ \text{m}, a área é
A = L^2.
Calcule 42^2 manualmente:
42^2 = (40+2)^2 = 40^2 + 2\cdot40\cdot2 + 2^2 = 1600 + 160 + 4 = 1764.
Logo
A = 1764\\ \text{m}^2.

Passo 6

Calcular o perímetro mínimo do terreno.
Perímetro de um quadrado de lado \,L é
P = 4L.
Substituindo \,L=42:
P = 4\cdot 42 = 168.
Portanto
P = 168\\ \text{m}.

Passo 7

Breve justificativa de por que esses valores são os “menores” possíveis dadas as condições.
  • A condição “mesmo número de mudas na horizontal e na vertical” força que o arranjo seja n\times n com n^2=289, o que tem solução única inteira n=17. Não há como reduzir n porque então não haveria mudas suficientes.
  • Mantendo \,n=17 e os espaçamentos/margens fixos, as dimensões do terreno calculadas em Passo 4 são as menores que acomodam exatamente as mudas nas posições especificadas (colocando a primeira muda a 1\\ \text{m} da borda e a última a 1\\ \text{m} da outra borda). Assim a área e o perímetro encontrados são os mínimos possíveis sob as restrições do problema.
Força aí — está pronto para decorar o raciocínio e aplicar em prova: conta a raiz, conta os intervalos (n-1), soma as margens e multiplica.

Resposta

\text{Área mínima} = 1764\\ \text{m}^2Áí
\text{Perímetro mínimo} = 168\\ \text{m}íí

Exercícios relacionados