Um pêndulo balístico é constituído por uma caixa de areia suspensa por um fio. Um projétil de massa
penetra na caixa e fica nela encravado. O centro de massa da caixa se eleva até uma altura
. A massa da caixa vale
.
(a) Deduza uma expressão para o módulo da velocidade do projétil em função destes dados.
(b) Calcule o valor numérico da velocidade do projétil quando ele atinge a caixa.
(a) Deduza uma expressão para o módulo da velocidade do projétil em função destes dados.
(b) Calcule o valor numérico da velocidade do projétil quando ele atinge a caixa.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas:
- Dados:
- Perguntas:
(a) Deduza uma expressão para o módulo da velocidade do projétilem função desses dados.
(b) Calcule numericamentequando o projétil atinge a caixa.
Passo 2
Entendimento físico imediato (sem cálculo ainda): o projétil de massa
penetra e fica encravado na caixa de massa
. Ou seja, após o choque as duas massas movem-se juntas com uma velocidade comum
imediatamente após o impacto. Durante o impacto, assumimos que não há forças externas horizontais significativas atuando no curto intervalo de tempo do choque, portanto o momento linear na direção do movimento é conservado nesse instante. A conservação do momento dá:
onde
-
é a velocidade do projétil imediatamente antes do choque (o que queremos), -
é a velocidade do conjunto (projétil + caixa) logo após o choque.
Isolando
obtemos a relação entre
e
:
Passo 3
Agora analisamos o que acontece depois do choque: o conjunto com massa
sobe até a altura
, convertendo sua energia cinética inicial (logo após o choque) em energia potencial gravitacional no ponto mais alto. Supondo ausência de atrito dissipativo significativo durante a subida, aplicamos a conservação de energia mecânica entre o instante logo após o choque (energia cinética) e o ponto de máximo alongamento (energia potencial):
onde
é a aceleração da gravidade. Aqui podemos simplificar
dos dois lados (desde que não seja zero), ficando:
Isolando
temos:
Explicação do que cada símbolo representa:
-
: velocidade comum imediatamente após o choque; -
: aceleração da gravidade (usaremos ); -
: altura máxima alcançada pelo centro de massa, dada pelo enunciado.
Passo 4
Agora juntamos as duas relações obtidas nos passos anteriores: a relação entre
e
(conservação de momento) e a expressão de
em função de
(conservação de energia). Substituindo
em
obtém-se a expressão final pedida no item (a):
Esta é a expressão do módulo da velocidade do projétil em função das massas, da altura e da gravidade.
Passo 5
Agora calculamos numericamente (item (b)). Primeiro calculamos o fator de massa:
Em seguida, calculamos a raiz:
Multiplicando:
Arredondando para três algarismos significativos, obtemos
, isto é, cerca de
.
Resposta
(a)
(b) (aproximadamente
).
(b)