Um pêndulo balístico é constituído por uma caixa de areia suspensa por um fio. Um projétil de massa m_{1}=30 \mathrm{~g} penetra na caixa e fica nela encravado. O centro de massa da caixa se eleva até uma altura h=30 \mathrm{~cm}. A massa da caixa vale m_{2}=3,0 \mathrm{~kg}.
(a) Deduza uma expressão para o módulo da velocidade do projétil em função destes dados.
(b) Calcule o valor numérico da velocidade do projétil quando ele atinge a caixa.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Dados: m_{1}=30\\ \mathrm{g}=0{,}030\\ \mathrm{kg},
m_{2}=3{,}0\\ \mathrm{kg},
h=30\\ \mathrm{cm}=0{,}30\\ \mathrm{m}.
  • Perguntas:
    (a) Deduza uma expressão para o módulo da velocidade do projétil v em função desses dados.
    (b) Calcule numericamente v quando o projétil atinge a caixa.

Passo 2

Entendimento físico imediato (sem cálculo ainda): o projétil de massa m_{1} penetra e fica encravado na caixa de massa m_{2}. Ou seja, após o choque as duas massas movem-se juntas com uma velocidade comum V imediatamente após o impacto. Durante o impacto, assumimos que não há forças externas horizontais significativas atuando no curto intervalo de tempo do choque, portanto o momento linear na direção do movimento é conservado nesse instante. A conservação do momento dá:
m_{1}\,v = (m_{1}+m_{2})\,V,
onde
  • v é a velocidade do projétil imediatamente antes do choque (o que queremos),
  • V é a velocidade do conjunto (projétil + caixa) logo após o choque.
Isolando v obtemos a relação entre v e V:
v=\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}}\,V.

Passo 3

Agora analisamos o que acontece depois do choque: o conjunto com massa m_{1}+m_{2} sobe até a altura h, convertendo sua energia cinética inicial (logo após o choque) em energia potencial gravitacional no ponto mais alto. Supondo ausência de atrito dissipativo significativo durante a subida, aplicamos a conservação de energia mecânica entre o instante logo após o choque (energia cinética) e o ponto de máximo alongamento (energia potencial):
\frac{1}{2}(m_{1}+m_{2})\,V^{2}=(m_{1}+m_{2})\,g\,h,
onde g é a aceleração da gravidade. Aqui podemos simplificar (m_{1}+m_{2}) dos dois lados (desde que não seja zero), ficando:
\frac{1}{2}V^{2}=g\,h.
Isolando V temos:
V=\sqrt{2\,g\,h}.
Explicação do que cada símbolo representa:
  • V: velocidade comum imediatamente após o choque;
  • g: aceleração da gravidade (usaremos g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}});
  • h: altura máxima alcançada pelo centro de massa, dada pelo enunciado.

Passo 4

Agora juntamos as duas relações obtidas nos passos anteriores: a relação entre v e V (conservação de momento) e a expressão de V em função de h (conservação de energia). Substituindo V=\sqrt{2gh} em
v=\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}}\,V,
obtém-se a expressão final pedida no item (a):
v=\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}}\,\sqrt{2\,g\,h}.
Esta é a expressão do módulo da velocidade do projétil em função das massas, da altura e da gravidade.

Passo 5

Agora calculamos numericamente (item (b)). Primeiro calculamos o fator de massa:
\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}}=\frac{0{,}030+3{,}0}{0{,}030}=\frac{3{,}03}{0{,}03}=101.
Em seguida, calculamos a raiz:
\sqrt{2\,g\,h}=\sqrt{2\cdot 9{,}80\cdot 0{,}30}=\sqrt{5{,}88}\approx 2{,}4253\\ \mathrm{m/s}.
Multiplicando:
v=101\cdot 2{,}4253\\ \mathrm{m/s}\approx 245{,}96\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando para três algarismos significativos, obtemos v\approx 2{,}46\times 10^{2}\\ \mathrm{m/s}, isto é, cerca de 246\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) \displaystyle v=\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}}\,\sqrt{2\,g\,h}.
(b) \displaystyle v\approx 2{,}46\times 10^{2}\\ \mathrm{m/s} (aproximadamente 246\\ \mathrm{m/s}).

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