Os fios elétricos são aproximadamente cilíndricos e comercializados de acordo com sua bitola que corresponde aproximadamente ao diâmetro da seção normal. Qual a razão entre as resistências elétricas de dois rolos de fio de mesmo material, mesmo comprimento e bitola de 0,50 \mathrm{~mm} e 2,0 \mathrm{~mm} ?

Passo 1

O enunciado pede a razão entre as resistências elétricas de dois rolos de fio que são do mesmo material, têm o mesmo comprimento e bitolas (diâmetros) diferentes: 0,50\\ \mathrm{mm} e 2,0\\ \mathrm{mm}. Informações relevantes dadas:
\text{mesmo material} \Rightarrow \rho \text{ (resistividade) igual para os dois}
\text{mesmo comprimento } L \text{ para os dois}
d_1 = 0,50\\ \mathrm{mm},\qquad d_2 = 2,0\\ \mathrm{mm}
A pergunta é: qual a razão \dfrac{R_{d_1}}{R_{d_2}} entre as resistências desses fios?

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que relaciona resistência, resistividade, comprimento e área da seção transversal de um fio. A fórmula é:
R = \rho \,\frac{L}{A}
Expliquei cada termo:
  • R é a resistência elétrica do fio (em ohms).
  • \rho é a resistividade do material (em \Omega\cdot\mathrm{m}); como os fios são do mesmo material, \rho é igual para ambos.
  • L é o comprimento do fio; aqui os comprimentos são iguais, então L também é igual para ambos.
  • A é a área da seção transversal do fio. Para um fio aproximadamente cilíndrico, a seção é um círculo e
A = \pi r^2 = \pi\left(\frac{d}{2}\right)^2.
Expliquei: r é o raio do fio e d é o diâmetro; trocar entre raio e diâmetro é só dividir por 2.

Passo 3

Como os dois fios têm o mesmo \rho e o mesmo L, na razão entre as resistências esses fatores se cancelam. Seja R_1 a resistência do fio de diâmetro d_1 e R_2 a do fio de diâmetro d_2. Então:
\frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho\,\dfrac{L}{A_1}}{\rho\,\dfrac{L}{A_2}} = \frac{A_2}{A_1}.
Ou seja, a razão das resistências é o inverso da razão das áreas. Como cada área A é proporcional ao quadrado do diâmetro ( A=\pi (d/2)^2 \propto d^2), podemos escrever:
\frac{R_1}{R_2} = \frac{d_2^2}{d_1^2}.
Expliquei: o fator \pi e o fator 1/4 (de (d/2)^2) também cancelam ao formar a razão, por isso só resta o quociente dos quadrados dos diâmetros.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos dos diâmetros (usando vírgula decimal conforme pedido):
d_1 = 0,50\\ \mathrm{mm},\qquad d_2 = 2,0\\ \mathrm{mm}.
Calculamos a razão:
\frac{R_1}{R_2} = \frac{d_2^2}{d_1^2} = \left(\frac{2,0}{0,50}\right)^2.
Primeiro o quociente dentro do parêntese:
\frac{2,0}{0,50} = 4.
Agora elevando ao quadrado:
4^2 = 16.

Passo 5

Interpretação didática: isso significa que o fio mais fino ( d_1=0,50\\ \mathrm{mm}) tem resistência 16 vezes maior que o fio mais grosso ( d_2=2,0\\ \mathrm{mm}), desde que comprimento e material sejam os mesmos. Intuitivamente: área transversal cresce com o quadrado do diâmetro, então aumentar o diâmetro reduz fortemente a resistência.

Resposta

\dfrac{R_{0,50}}{R_{2,0}} = 16

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